Em relação ao conjunto de vetores do espaço R^3 v = (1; -1; 0), u = (-1; 2; 1) e w = (2; 1; 1), podemos dizer que:

Para verificar se $\{v,u,w\}$ é LI (linearmente independente) em $\mathbb{R}^3$, montamos a matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante.

Dados:

• $v=(1,-1,0)$
• $u=(-1,2,1)$
• $w=(2,1,1)$

Matriz (colunas $v,u,w$):

$$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Determinante (expansão pela 1ª linha):

$$\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}-1&1\\0&1\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}-1&2\\0&1\end{vmatrix}$$

Calculando os menores:

• $\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot 1-1\cdot 1=1$
• $\begin{vmatrix}-1&1\\0&1\end{vmatrix}=(-1)\cdot 1-1\cdot 0=-1$
• $\begin{vmatrix}-1&2\\0&1\end{vmatrix}=(-1)\cdot 1-2\cdot 0=-1$

Substituindo:

$$\det(A)=1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 2\cdot(-1)=1-1-2=-2$$

Como $\det(A)\neq 0$, os vetores são linearmente independentes. Em $\mathbb{R}^3$, qualquer conjunto com 3 vetores LI forma uma base de $\mathbb{R}^3$.