Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas por quatro naipes (espadas, copas, ouros e paus). Em cada naipe há 13 cartas: um ás, três figuras (rei, dama e valete) e nove outras cartas (do 2 ao 10). a) Utilizando apenas as 12 figuras, quantas sequências de 12 cartas, com os reis todos juntos e com as damas todas juntas, é possível construir? b) Retirando ao acaso, simultaneamente, cinco cartas de um baralho completo, quantos conjuntos distintos de cinco cartas com, no máximo, dois ases é possível formar?

a) Sequências de 12 figuras com reis juntos e damas juntas

Há 12 figuras: 4 reis (R), 4 damas (D) e 4 valetes (V).

Condição: todos os reis em um bloco (RRRR) e todas as damas em um bloco (DDDD). Os valetes ficam soltos.

1. Trate os blocos como “supercartas”:

• Bloco dos reis: 1 item
• Bloco das damas: 1 item
• 4 valetes individuais: 4 itens

Total de itens a ordenar: $1+1+4=6$ itens.

Número de maneiras de ordenar esses 6 itens: $6!$

2. Dentro de cada bloco, as cartas podem permutar:

• Reis: $4!$
• Damas: $4!$

3. Os valetes também podem permutar entre si (são cartas distintas):

• Valetes: $4!$

Logo, o total é: $6!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 4! = 720\cdot 24^3 = 720\cdot 13824 = 9\,953\,280.$

Atenção: o enunciado pede sequências de 12 cartas utilizando apenas as 12 figuras, então este é o total correto.

Portanto:

• a) $9\,953\,280$.

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b) Conjuntos de 5 cartas com, no máximo, 2 ases

“Conjuntos distintos” indica combinações (ordem não importa).

Total de mãos de 5 cartas de um baralho de 52: $\binom{52}{5}.$

Queremos no máximo 2 ases, isto é, excluir as mãos com 3 ou 4 ases.

• Número de mãos com exatamente 3 ases:

  • Escolhe 3 dos 4 ases: $\binom{4}{3}$
  • Escolhe as outras 2 cartas dentre as 48 não-ases: $\binom{48}{2}$ $\binom{4}{3}\binom{48}{2}$

• Número de mãos com exatamente 4 ases:

  • Escolhe os 4 ases: $\binom{4}{4}$
  • Escolhe 1 carta dentre as 48 não-ases: $\binom{48}{1}$ $\binom{4}{4}\binom{48}{1}$

Logo, o total desejado: $\binom{52}{5} - \binom{4}{3}\binom{48}{2} - \binom{4}{4}\binom{48}{1}.$

Calculando:

• $\binom{52}{5}=2\,598\,960$
• $\binom{4}{3}\binom{48}{2}=4\cdot 1128=4\,512$
• $\binom{4}{4}\binom{48}{1}=1\cdot 48=48$

Então: $2\,598\,960 - 4\,512 - 48 = 2\,594\,400.$

Portanto:

• b) $2\,594\,400$.