Durante a análise de um componente óptico, engenheiros identificaram que a região entre as curvas y = x^2 e y = √x, no intervalo de x = 0 a x = 1, representa a área de passagem de luz entre duas camadas de material. O gráfico abaixo mostra essa região. Com base no gráfico e nas funções fornecidas, qual expressão representa corretamente a integral que calcula a área da região destacada entre as curvas?

Para calcular a área entre duas curvas no intervalo $[a,b]$, usamos

$\displaystyle A=\int_a^b (\text{função de cima} - \text{função de baixo})\,dx.$

No intervalo $0\le x\le 1$, comparamos as funções:

• $y=\sqrt{x}$
• $y=x^2$

Observando o gráfico (e também por valores típicos), para $0<x<1$ temos $\sqrt{x} > x^2$ (por exemplo, em $x=0{,}25$: $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ e $(0{,}25)^2=0{,}0625$). Elas se encontram em $x=0$ e $x=1$.

Assim, a curva de cima é $\sqrt{x}$ e a de baixo é $x^2$, então a integral que representa a área sombreada é:

$\displaystyle A=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right)dx.$

Alternativa correta: (não há alternativas fornecidas).