Uma prefeitura decidiu alterar a estrutura de cobrança do imposto sobre coleta de lixo. Para prever o comportamento da quantidade de resíduos ao longo dos próximos 24 meses (0 ≤ t ≤ 24), as variáveis são modeladas por funções polinomiais do tempo. A taxa unitária V(t) (valor cobrado por tonelada) sofre reajustes mensais programados: a taxa começa em R$ 5,00 e aumenta R$ 0,50 por mês. A quantidade coletada Q(t) (volume total de lixo, em toneladas) diminui devido a novos programas de incentivo à redução de resíduos: a coleta começa em 1.200 toneladas e cai 40 toneladas por mês. A arrecadação total mensal A(t) = V(t)·Q(t). Considerando o intervalo de tempo estipulado, pode-se afirmar corretamente que a arrecadação da prefeitura:

Temos as funções dadas:

• $V(t)=5+0{,}5t$
• $Q(t)=1200-40t$

A arrecadação mensal é o produto: $A(t)=V(t)\cdot Q(t)=(5+0{,}5t)(1200-40t)=6000+400t-20t^2.$

1. Tipo de comportamento

A função $A(t)=6000+400t-20t^2$ é uma parábola em $t$ com coeficiente do termo quadrático negativo ($-20$), logo ela é côncava para baixo: cresce até um certo ponto e depois decresce.

2. Momento do valor máximo (vértice)

Para $A(t)=at^2+bt+c$ com $a=-20$ e $b=400$, o $t$ do vértice é: $t_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-400}{2\cdot(-20)}=\frac{-400}{-40}=10.$

Como o intervalo é $0\le t\le 24$, o vértice $t=10$ está dentro do intervalo, então:

• $A(t)$ aumenta de $t=0$ até $t=10$;
• $A(t)$ atinge máximo em $t=10$;
• $A(t)$ diminui de $t=10$ até $t=24$.

Portanto, a alternativa correta é (C).