QUESTÃO 21 Um arquiteto projeta um mosaico com uma sequência de polígonos regulares. A construção segue uma regra específica: inicia-se com um triângulo equilátero de lado 2 metros. Em seguida, constrói-se um quadrado cujo lado tem a mesma medida da altura do triângulo anterior. Por fim, um pentágono regular é construído, e a medida do seu lado é igual à medida da diagonal do quadrado anterior. A área desse pentágono final é um dado crucial para a encomenda do material. Qual das seguintes alternativas classifica corretamente o número que expressa a área do pentágono?

1. Triângulo equilátero de lado 2 A altura de um triângulo equilátero de lado $a$ é $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Logo, $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}.$

2. Quadrado com lado igual à altura do triângulo Então o lado do quadrado é $\sqrt{3}$. Sua diagonal vale $d=\text{lado}\cdot\sqrt{2}$: $d=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.$

3. Pentágono regular com lado igual à diagonal do quadrado O lado do pentágono é $s=\sqrt{6}$.

A área de um pentágono regular pode ser escrita como $A=\frac{5s^2}{4\tan(\pi/5)}.$ Aqui, $s^2=6$, então $A=\frac{5\cdot 6}{4\tan(\pi/5)}=\frac{30}{4\tan(\pi/5)}=\frac{15}{2\tan(\pi/5)}.$

Como $\tan(\pi/5)=\tan(36^\circ)$ é um número irracional, o valor $\frac{15}{2\tan(\pi/5)}$ também é irracional. Portanto, a área do pentágono é um número irracional.