Um menino possui 29 moedas de 10 centavos e 15 moedas de 25 centavos. O número de maneiras diferentes que ele tem para formar 5 reais é igual a:

Sejam $x$ o número de moedas de 10 centavos e $y$ o número de moedas de 25 centavos usadas.

Queremos formar $5$ reais $= 500$ centavos:

$$10x + 25y = 500.$$

Dividindo por 5:

$$2x + 5y = 100 \Rightarrow 2x = 100 - 5y \Rightarrow x = \frac{100-5y}{2}.$$

Para $x$ ser inteiro, $100-5y$ deve ser par. Como $100$ é par, isso exige que $5y$ seja par, ou seja, que $y$ seja par.

Além disso, há limites de moedas disponíveis:

• $0 \le x \le 29$
• $0 \le y \le 15$

Testando valores pares de $y$ (e $\le 15$): $y \in \{0,2,4,6,8,10,12,14\}$. Calculando $x=\frac{100-5y}{2}$:

• $y=0 \Rightarrow x=50$ (não pode, pois $x>29$)
• $y=2 \Rightarrow x=45$ (não pode)
• $y=4 \Rightarrow x=40$ (não pode)
• $y=6 \Rightarrow x=35$ (não pode)
• $y=8 \Rightarrow x=30$ (não pode, pois $x>29$)
• $y=10 \Rightarrow x=25$ (pode)
• $y=12 \Rightarrow x=20$ (pode)
• $y=14 \Rightarrow x=15$ (pode)

Logo, existem $3$ maneiras possíveis.