Sejam A, B e C conjuntos distintos tais que A ∪ B = {5}, (A ∩ B) ∪ C = {3,5,7} e B ∩ C = ∅. Portanto, x ∈ C e x ∉ A se, e somente se, x pertence ao conjunto

1. De $A\cup B=\{5\}$, conclui-se que:

• Todo elemento de $A$ ou $B$ só pode ser $5$.
• Além disso, pelo menos um entre $A$ e $B$ contém o elemento $5$. Logo, $A\subseteq\{5\}$ e $B\subseteq\{5\}$.

2. Assim, $A\cap B$ também só pode ser subconjunto de $\{5\}$, isto é, $A\cap B\subseteq\{5\}$.

3. Agora use $(A\cap B)\cup C=\{3,5,7\}$.

• Como $A\cap B$ pode contribuir no máximo com o elemento $5$, os elementos $3$ e $7$ necessariamente vêm de $C$. Portanto, $3\in C$ e $7\in C$.

4. Além disso, $B\cap C=\varnothing$ e $3,7\in C$ implicam que $3\notin B$ e $7\notin B$. Mas de $A\cup B=\{5\}$ segue que, se um elemento não está em $B$, ele só poderia estar em $A$ se fosse $5$; como $3$ e $7$ não são $5$, então também $3\notin A$ e $7\notin A$.

5. Queremos o conjunto dos $x$ tais que $x\in C$ e $x\notin A$, isto é, $C\setminus A$. Já vimos que $3\in C$ e $3\notin A$; $7\in C$ e $7\notin A$. O elemento $5$ pode ou não estar em $C$ e pode ou não estar em $A$ (dependendo de como são $A$ e $B$), então não é garantido que $5\in C\setminus A$.

Logo, os elementos certamente em $C$ e fora de $A$ são exatamente $\{3,7\}$.