O que são polinômios?

1. Ideia central Um polinômio em uma variável (por exemplo, $x$) é uma expressão do tipo: $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$ onde:

• $a_0, a_1, \ldots, a_n$ são coeficientes (geralmente reais, mas podem ser de outros conjuntos, como inteiros ou complexos);
• $n$ é um inteiro não negativo e indica o grau do polinômio (se $a_n\neq 0$).

2. Termos importantes

• Monômio: um único termo, como $7x^3$.
• Binômio: dois termos, como $x+5$.
• Trinômio: três termos, como $x^2-3x+2$.
• Grau: o maior expoente da variável com coeficiente não nulo.

3. Exemplos

• $P(x)=3x^2-2x+1$ é polinômio (expoentes 2, 1 e 0).
• $Q(x)=5$ também é polinômio (polinômio constante, grau 0, se $5\neq 0$).
• $R(x)=x^4+\frac{1}{2}x$ é polinômio (coeficientes podem ser frações).

4. O que NÃO é polinômio (exemplos)

• $\frac{1}{x}=x^{-1}$ (expoente negativo).
• $\sqrt{x}=x^{1/2}$ (expoente fracionário).
• $2^x$ (variável no expoente).
• $\frac{x^2+1}{x-1}$ (em geral não é polinômio por envolver divisão por expressão com variável; pode até simplificar em casos específicos, mas a expressão original é racional).

5. Polinômios em mais de uma variável Ex.: $P(x,y)=2x^2y-3y+1$ também é polinômio, pois os expoentes de cada variável continuam sendo inteiros não negativos.

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