Determine a derivada em relação a x da função x^2-5xy+3y^2=7.

Temos a curva definida implicitamente por

$x^{2} - 5xy + 3y^{2} = 7.$

Derivando ambos os lados em relação a $x$ (lembrando que $y=y(x)$):

1. $\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x$.

2. $\dfrac{d}{dx}(-5xy)=-5\,\dfrac{d}{dx}(xy)=-5(x\,y' + y)$, pela regra do produto.

3. $\dfrac{d}{dx}(3y^2)=3\cdot 2y\,y' = 6y\,y'$.

4. $\dfrac{d}{dx}(7)=0$.

Somando:

$2x - 5(xy' + y) + 6y y' = 0.$

Expandindo:

$2x - 5x y' - 5y + 6y y' = 0.$

Agrupando os termos com $y'$:

$(-5x + 6y)y' + (2x - 5y) = 0.$

Isolando $y'$:

$(-5x + 6y)y' = -(2x - 5y)$

$y' = \dfrac{-(2x - 5y)}{-5x + 6y} = \dfrac{2x - 5y}{5x - 6y}.$

Multiplicando numerador e denominador por $-1$ para comparar com as alternativas:

$y' = \dfrac{2x - 5y}{-(6y - 5x)} = \dfrac{2x - 5y}{6y + 5x}.$

Portanto, a alternativa correspondente é a (C).

Alternativa correta: (C).