Às 8 h o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste a 16 km/h e o navio B está navegando para o sul a 20 km/h, determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.

Defina um sistema de eixos com origem na posição do navio B às 8h, eixo $x$ positivo para leste e eixo $y$ positivo para norte.

• Às 8h: $B=(0,0)$ e $A=(0,-25)$ (25 km ao sul).
• Movimentos:
  • Navio A vai para oeste a 16 km/h: $x_A(t)=-16t$.
  • Navio B vai para sul a 20 km/h: $y_B(t)=-20t$.
  • Como A não muda seu $y$ e B não muda seu $x$: $A(t)=(-16t,-25),\quad B(t)=(0,-20t)$

Vetor separação (de B para A): $\Delta x(t)=x_A-x_B=-16t,\quad \Delta y(t)=y_A-y_B=-25-(-20t)=20t-25$

A distância entre os navios é $s(t)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(16t)^2+(20t-25)^2}$ Logo, $s^2(t)=(16t)^2+(20t-25)^2$ Derivando em relação ao tempo: $2s\,\frac{ds}{dt}=2(16t)(16)+2(20t-25)(20)$ $\frac{ds}{dt}=\frac{(16t)(16)+(20t-25)(20)}{s}$

Em $8$h$30$min, $t=0{,}5$ h.

• $\Delta x=-16(0{,}5)=-8$
• $\Delta y=20(0{,}5)-25=10-25=-15$
• $s=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$

Então $\frac{ds}{dt}=\frac{(16\cdot 0{,}5)(16)+(-15)(20)}{17}=\frac{8\cdot 16-300}{17}=\frac{128-300}{17}=-\frac{172}{17}\;\text{km/h}$

O sinal negativo indica que a distância está diminuindo às 8h30.

Alternativa correta: (a).