Determine a derivada da função: f(x,y) = 5x^2 + x y^3

Como a função depende de duas variáveis, “a derivada” aqui se refere às derivadas parciais $f_x$ e $f_y$.

Dada

$\displaystyle f(x,y)=5x^2+xy^3.$

1) Derivada parcial em relação a $x$ (mantendo $y$ constante)

• $\dfrac{\partial}{\partial x}(5x^2)=10x$
• $\dfrac{\partial}{\partial x}(xy^3)=y^3\,\dfrac{\partial}{\partial x}(x)=y^3$

Logo,

$\displaystyle f_x(x,y)=10x+y^3.$

2) Derivada parcial em relação a $y$ (mantendo $x$ constante)

• $\dfrac{\partial}{\partial y}(5x^2)=0$ (pois não depende de $y$)
• $\dfrac{\partial}{\partial y}(xy^3)=x\,\dfrac{\partial}{\partial y}(y^3)=x\cdot 3y^2=3xy^2$

Logo,

$\displaystyle f_y(x,y)=3xy^2.$

Comparando com as opções, isso corresponde à alternativa (1).