Resolva as seguintes desigualdades: a) |x - 1| ≤ |x + 1|. b) |x| - |x - 1| < x. c) |x - 1| + |x - 2| ≤ 3.

Vamos resolver por análise de casos (pontos onde os módulos “quebram”).

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a) $|x-1|\le |x+1|$

Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado: [(x-1)^2\le (x+1)^2] [x^2-2x+1\le x^2+2x+1] [-2x\le 2x\Rightarrow -4x\le 0\Rightarrow x\ge 0] A desigualdade fica satisfeita para $x\ge 0$.

Solução (a): $[0,\infty)$.

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b) $|x|-|x-1|<x$

Pontos críticos: $x=0$ e $x=1$.

Caso 1: $x\ge 1$

$|x|=x$ e $|x-1|=x-1$: [x-(x-1)<x\Rightarrow 1<x] Verdade para todo $x>1$ (não vale em $x=1$).

Caso 2: $0\le x<1$

$|x|=x$ e $|x-1|=1-x$: [x-(1-x)<x\Rightarrow 2x-1<x\Rightarrow x<1] Isso é verdadeiro para todo $x\in[0,1)$.

Caso 3: $x<0$

$|x|=-x$ e $|x-1|=1-x$: [-x-(1-x)<x\Rightarrow -1<x] Com a condição $x<0$, fica $(-1,0)$.

União dos casos: $(-1,0)\cup[0,1)\cup(1,\infty)=(-1,1)\cup(1,\infty)$.

Solução (b): $(-1,1)\cup(1,\infty)$.

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c) $|x-1|+|x-2|\le 3$

Pontos críticos: $x=1$ e $x=2$.

Caso 1: $x\le 1$

$|x-1|=1-x$, $|x-2|=2-x$: [(1-x)+(2-x)\le 3\Rightarrow 3-2x\le 3\Rightarrow x\ge 0] Com $x\le 1$: $[0,1]$.

Caso 2: $1\le x\le 2$

$|x-1|=x-1$, $|x-2|=2-x$: [(x-1)+(2-x)=1\le 3] Sempre verdadeiro: $[1,2]$.

Caso 3: $x\ge 2$

$|x-1|=x-1$, $|x-2|=x-2$: [(x-1)+(x-2)\le 3\Rightarrow 2x-3\le 3\Rightarrow x\le 3] Com $x\ge 2$: $[2,3]$.

União: $[0,1]\cup[1,2]\cup[2,3]=[0,3]$.

Solução (c): $[0,3]$.

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Alternativa correta: (sem alternativas).