Domínio: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x∈A existir apenas um y∈B, tal que (x, y) ∈ f. As seguintes notações são utilizadas. f: A→B (lê-se: f de A em B) x→y = f(x) (para cada x há um valor f(x) associado) Sobre as funções abaixo, encontre o domínio e faça as suas representações gráficas, considerando o intervalo [-10, 10]. Atenção: a representação gráfica poderá ser feita à mão em papel quadriculado ou utilizando o software GeoGebra. a) $f(x)=\dfrac{x}{x-5}$ b) $g(x)=\dfrac{x-3}{2}$ c) $h(x)=x^{2}+3x-1$ d) $i(x)=4x-7$

a) $f(x)=\dfrac{x}{x-5}$

Domínio: como há denominador $x-5$, precisamos de $x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5$.

$D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}$.

Para desenhar no intervalo $[-10,10]$ (características do gráfico):

• Assíntota vertical: $x=5$.
• Assíntota horizontal: como os graus são iguais, $\displaystyle \lim_{|x|\to\infty}\frac{x}{x-5}=1$ → assíntota horizontal $y=1$.
• Interseção com os eixos: $f(0)=0$ → passa em $(0,0)$.
• Reescrita útil: $f(x)=\frac{x}{x-5}=\frac{(x-5)+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}.$ Isso mostra que é uma hipérbole “centrada” no ponto de cruzamento das assíntotas $(5,1)$.
• Pontos para plotar (exemplos):
  • $x=-10\Rightarrow f(-10)=\frac{-10}{-15}=\frac{2}{3}$.
  • $x=0\Rightarrow f(0)=0$.
  • $x=4\Rightarrow f(4)=\frac{4}{-1}=-4$.
  • $x=6\Rightarrow f(6)=\frac{6}{1}=6$.
  • $x=10\Rightarrow f(10)=\frac{10}{5}=2$.

No desenho, faça duas ramificações: uma para $x<5$ (tende a $-\infty$ quando $x\to 5^-$) e outra para $x>5$ (tende a $+\infty$ quando $x\to 5^+$), ambas se aproximando de $y=1$ longe de $x=5$.

---

b) $g(x)=\dfrac{x-3}{2}$

Domínio: não há restrição (não tem raiz no denominador dependente de $x$).

$D_g=\mathbb{R}$.

Gráfico no intervalo $[-10,10]$: é uma reta.

• Forma: $g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.
• Coeficiente angular: $m=\frac{1}{2}$ (sobe 1 a cada 2 para a direita).
• Interseção com o eixo $y$: $g(0)=-\frac{3}{2}$.
• Interseção com o eixo $x$: $g(x)=0\Rightarrow \frac{x-3}{2}=0\Rightarrow x=3$.
• Pontos para plotar:
  • $x=-10\Rightarrow g(-10)=\frac{-13}{2}=-6{,}5$.
  • $x=0\Rightarrow g(0)=-1{,}5$.
  • $x=3\Rightarrow g(3)=0$.
  • $x=10\Rightarrow g(10)=\frac{7}{2}=3{,}5$.

---

c) $h(x)=x^{2}+3x-1$

Domínio: polinômio → definido para todo real.

$D_h=\mathbb{R}$.

Gráfico no intervalo $[-10,10]$: parábola com concavidade para cima ($a=1>0$).

• Vértice: $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}=-1{,}5.$ \frac{9}{4}-\frac{9}{2}-1=\frac{9-18-4}{4}=-\frac{13}{4}=-3{,}25.$$ Então $V\left(-\frac{3}{2},-\frac{13}{4}\right)$.
• Eixo de simetria: $x=-\frac{3}{2}$.
• Interseção com o eixo $y$: $h(0)=-1$.
• Zeros (interseções com o eixo $x$): resolver $x^2+3x-1=0$. \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.$$ Aproximações: $\sqrt{13}\approx 3{,}606$: $$x_1\approx \frac{-3-3{,}606}{2}\approx -3{,}303,\quad x_2\approx \frac{-3+3{,}606}{2}\approx 0{,}303.$$
• Pontos para plotar:
  • $x=-10\Rightarrow h(-10)=100-30-1=69$.
  • $x=-3\Rightarrow h(-3)=9-9-1=-1$.
  • $x=-1\Rightarrow h(-1)=1-3-1=-3$.
  • $x=0\Rightarrow -1$.
  • $x=1\Rightarrow 1+3-1=3$.
  • $x=10\Rightarrow 100+30-1=129$.

---

d) $i(x)=4x-7$

Domínio: função linear → sem restrições.

$D_i=\mathbb{R}$.

Gráfico no intervalo $[-10,10]$: reta.

• Coeficiente angular: $m=4$ (sobe 4 a cada 1 para a direita).
• Interseção com o eixo $y$: $i(0)=-7$.
• Interseção com o eixo $x$: $4x-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{4}=1{,}75$.
• Pontos para plotar:
  • $x=-10\Rightarrow i(-10)=-40-7=-47$.
  • $x=0\Rightarrow -7$.
  • $x=2\Rightarrow 8-7=1$.
  • $x=10\Rightarrow 40-7=33$.

---

Resumo dos domínios:

• a) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}$
• b) $D_g=\mathbb{R}$
• c) $D_h=\mathbb{R}$
• d) $D_i=\mathbb{R}$