Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x∈A existir apenas um y∈B, tal que (x, y) ∈ f. As seguintes notações são utilizadas. f: A→B (lê-se: f de A em B) x→y = f(x) (para cada x há um valor f(x) associado) Sobre as funções abaixo, encontre o domínio e faça as suas representações gráficas, considerando o intervalo [-10, 10]. Atenção: a representação gráfica poderá ser feita à mão em papel quadriculado ou utilizando o software GeoGebra. f(x) = x/(x - 5) g(x) = (x - 3)/2 h(x) = x^2 + 3x - 1 i(x) = 4x - 7

Domínios e orientações para os gráficos (intervalo $[-10,10]$)

1) $f(x)=\dfrac{x}{x-5}$

Domínio: todos os reais, exceto onde o denominador zera.

• $x-5\neq 0 \Rightarrow x\neq 5$
• Logo: $D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}$.
• No intervalo pedido: $D_f\cap[-10,10]=[-10,5)\cup(5,10]$.

Para desenhar o gráfico (hipérbole):

• Assíntota vertical: $x=5$.
• Assíntota horizontal: como os graus são iguais, é a razão dos coeficientes líderes $1/1$:
  • $y=1$.
• Interceptos:
  • Em $x=0$: $f(0)=0$ (passa pela origem).
• Pontos úteis (no intervalo):
  • $f(-10)=\frac{-10}{-15}=\frac{2}{3}\approx0{,}667$
  • $f(-5)=\frac{-5}{-10}=0{,}5$
  • $f(1)=\frac{1}{-4}=-0{,}25$
  • $f(4)=\frac{4}{-1}=-4$
  • $f(6)=\frac{6}{1}=6$
  • $f(10)=\frac{10}{5}=2$

Dica: também ajuda reescrever $f(x)=\frac{x}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}.$ Isso mostra claramente que o gráfico “se aproxima” de $y=1$ e explode perto de $x=5$.

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2) $g(x)=\dfrac{x-3}{2}$

Domínio: função linear (sem restrições).

• Logo: $D_g=\mathbb{R}$ (e no intervalo, $[-10,10]$ todo).

Gráfico (reta):

• Forma: $g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$
• Coeficiente angular: $m=\frac12$ (sobe 1 a cada 2 na horizontal).
• Intercepto em $y$: $g(0)=-\frac{3}{2}=-1{,}5$.
• Intercepto em $x$: $g(x)=0\Rightarrow x-3=0\Rightarrow x=3$.
• Pontos no intervalo:
  • $g(-10)=\frac{-13}{2}=-6{,}5$
  • $g(10)=\frac{7}{2}=3{,}5$

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3) $h(x)=x^2+3x-1$

Domínio: polinômio (sem restrições).

• Logo: $D_h=\mathbb{R}$.

Gráfico (parábola):

• Abertura: para cima (coeficiente de $x^2$ é $1>0$).
• Vértice:
  • $x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot1}=-\frac{3}{2}=-1{,}5$
  • $y_v=h\left(-\frac32\right)=\left(-\frac32\right)^2+3\left(-\frac32\right)-1$ $=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-1=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{13}{4}=-3{,}25$
  • Vértice: $\left(-\frac32,-\frac{13}{4}\right)$.
• Intercepto em $y$:
  • $h(0)=-1$.
• Zeros (interceptos em $x$) pela fórmula de Bhaskara:
  • $x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
  • Aproximações: $\sqrt{13}\approx 3{,}606$:
    • $x_1\approx\frac{-3-3{,}606}{2}\approx -3{,}303$
    • $x_2\approx\frac{-3+3{,}606}{2}\approx 0{,}303$
• Pontos úteis no intervalo:
  • $h(-10)=100-30-1=69$
  • $h(10)=100+30-1=129$

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4) $i(x)=4x-7$

Domínio: função linear (sem restrições).

• Logo: $D_i=\mathbb{R}$.

Gráfico (reta):

• Coeficiente angular: $m=4$.
• Intercepto em $y$: $i(0)=-7$.
• Intercepto em $x$: $4x-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{4}=1{,}75$.
• Pontos no intervalo:
  • $i(-10)=-40-7=-47$
  • $i(10)=40-7=33$

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Resumo dos domínios

• $D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}$
• $D_g=\mathbb{R}$
• $D_h=\mathbb{R}$
• $D_i=\mathbb{R}$

Se você quiser, eu também posso montar uma tabelinha (com 6 a 10 pontos) para cada função no intervalo $[-10,10]$ para facilitar o traçado no papel/GeoGebra.