Dada a função f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x^{2}-4}}. Qual o domínio dessa função?

Para a função

$$f(x)=\frac{3}{\sqrt{x^2-4}},$$

o denominador não pode ser zero e, além disso, o que está dentro da raiz quadrada deve ser positivo (pois está no denominador).

1. Condição da raiz (e do denominador):

$$\sqrt{x^2-4} \neq 0 \quad \text{e} \quad x^2-4>0.$$

Como $\sqrt{x^2-4}=0$ acontece quando $x^2-4=0$, exigir $x^2-4>0$ já garante automaticamente que o denominador não zera.

2. Resolvendo a desigualdade:

$$x^2-4>0 \iff x^2>4 \iff |x|>2.$$

Logo,

$$x<-2 \;\; \text{ou} \;\; x>2.$$

Assim, o domínio é $( -\infty,-2)\cup(2,\infty)$. Entre as alternativas dadas, a que corresponde a uma das partes do domínio é a opção com $x>2$.