Determine o domínio da função f(x) = \(\sqrt{\dfrac{9-x^2}{x^2+x-2}}\).

Para que $f(x)=\sqrt{\dfrac{9-x^2}{x^2+x-2}}$ esteja definida em $\mathbb{R}$, precisamos:

1. Radicando não negativo: [ \frac{9-x^2}{x^2+x-2}\ge 0. ]
2. Denominador diferente de zero: [ x^2+x-2\ne 0. ]

Fatorando:

• Numerador: $9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3)$, zera em $x=\pm 3$.
• Denominador: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, zera em $x=-2$ e $x=1$ (pontos proibidos).

Analisamos o sinal de [ \frac{9-x^2}{(x+2)(x-1)} ] nos intervalos determinados pelos pontos críticos $-3,-2,1,3$.

Tabela de sinais (testando um ponto em cada intervalo):

• $(-\infty,-3)$: pegue $x=-4$. (\frac{9-16}{16-4-2}=\frac{-7}{10}<0) ⇒ não entra.

• $(-3,-2)$: pegue $x=-2{,}5$. (9-6{,}25>0) e $(x+2)(x-1)<0$ ⇒ fração $<0$? Vamos calcular: denominador $( -0{,}5)(-3{,}5)=+1{,}75>0$, então fração $>0$ ⇒ entra.

• $(-2,1)$: pegue $x=0$. (\frac{9-0}{-2}=-4{,}5<0) ⇒ não entra.

• $(1,3)$: pegue $x=2$. (\frac{9-4}{4+2-2}=\frac{5}{4}>0) ⇒ entra.

• $(3,+\infty)$: pegue $x=4$. (\frac{9-16}{16+4-2}=\frac{-7}{18}<0) ⇒ não entra.

Agora ajustamos pelas extremidades:

• Em $x=-3$ e $x=3$, o numerador zera e o denominador não zera, então o radicando vale $0$ e é permitido.
• Em $x=-2$ e $x=1$, o denominador zera, então são proibidos.

Logo, o domínio é $[-3,-2)\cup(1,3]$.

Observação: a checagem numérica mostra que os intervalos válidos são $[-3,-2)\cup(1,3]$, portanto a união $(-3,-2)\cup(-2,1)\cup(3,+\infty)$ está incorreta.

Alternativa correta: (sem alternativas).