Resolve a equação segundo o binómio de Newton: $(p+q)^5$.

Pelo Binômio de Newton,

$$(p+q)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^{n-k}q^k.$$

Para $n=5$:

$$(p+q)^5 = \binom{5}{0}p^5q^0+\binom{5}{1}p^4q^1+\binom{5}{2}p^3q^2+\binom{5}{3}p^2q^3+\binom{5}{4}p^1q^4+\binom{5}{5}p^0q^5.$$

Como os coeficientes binomiais são $\binom{5}{0}=1,\ \binom{5}{1}=5,\ \binom{5}{2}=10,\ \binom{5}{3}=10,\ \binom{5}{4}=5,\ \binom{5}{5}=1,$ substituindo obtemos:

$$(p+q)^5 = p^5 + 5p^4q + 10p^3q^2 + 10p^2q^3 + 5pq^4 + q^5.$$