Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando. Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:

Para analisar as alternativas, usamos fatos básicos sobre $f(x)=e^x$ e $g(x)=\ln(x)$.

1. Taxa de variação (derivadas)

• $f'(x)=e^x$. Como $e^x>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$, a taxa de variação de $f$ é sempre positiva.
• $g'(x)=\dfrac{1}{x}$. Para $x>0$, $g'(x)>0$; para $x<0$, $\ln(x)$ nem está definida em $\mathbb{R}$. Logo, não é verdade que “para $x<0$ ambas têm taxa negativa” (A é falsa) e também não faz sentido dizer que ambas não têm taxa em $x=0$ (D é falsa), pois $f'(0)=1$ existe, enquanto $g$ nem está definida em $0$.

2. Integrais no intervalo $0<x<1$ (sinal da área)

• Para $0<x<1$, temos $e^x>0$, então qualquer integral definida de $f$ em um subintervalo de $(0,1)$ é positiva.
• Para $0<x<1$, $\ln(x)<0$, então qualquer integral definida de $g$ em um subintervalo de $(0,1)$ é negativa. Portanto, a afirmação da alternativa B é correta.

3. Checagem das demais

• (C) é falsa, pois a integral definida de $\ln(x)$ em $(0,1)$ é negativa.
• (E) é falsa, pois o domínio de $e^x$ é $\mathbb{R}$, mas o de $\ln(x)$ é $(0,\infty)$.