O quintal da casa de Leonardo tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, como ilustrado na figura a seguir. A figura foi desenhada em um sistema de coordenadas cartesianas, cujos eixos estão cotados em metro. A tabela a seguir apresenta as coordenadas dos vértices do trapézio. Leonardo quer construir uma piscina circular em seu quintal com o maior tamanho possível, de modo que a circunferência da piscina tangencie os lados representados pelos segmentos AB, CD e AD, como mostra a figura. Sabendo que, no estudo da geometria analítica, a distância de um ponto (x, y) a uma reta de equação ax + by + c = 0 é dada pela fórmula d = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}, qual é o raio da piscina que Leonardo deseja construir?

1. Identificando as retas dos lados que a circunferência deve tangenciar Pelos vértices:

• $A(0,0)$ e $B(0,12)$ → reta $AB$: $x=0$.

• $A(0,0)$ e $D(7,0)$ → reta $AD$: $y=0$.

• $C(12,12)$ e $D(7,0)$ → reta $CD$:

  Coeficiente angular: $m=\dfrac{12-0}{12-7}=\dfrac{12}{5}$. Equação passando por $D(7,0)$: $y=\frac{12}{5}(x-7)=\frac{12}{5}x-\frac{84}{5}$ Forma $ax+by+c=0$: $12x-5y-84=0.$

2. Centro da circunferência Como ela é tangente a $AB$ (reta $x=0$) e a $AD$ (reta $y=0$), o centro deve estar a uma mesma distância $r$ dessas duas retas, logo o centro é $(r,r)$.

3. Tangência também a $CD$ A distância do ponto $(r,r)$ à reta $12x-5y-84=0$ deve ser igual ao raio $r$: $d=\frac{|12r-5r-84|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\frac{|7r-84|}{\sqrt{169}}=\frac{|7r-84|}{13}.$ Como o centro está dentro do trapézio, $7r-84<0$, então $|7r-84|=84-7r$. Impondo $d=r$: $\frac{84-7r}{13}=r \Rightarrow 84-7r=13r \Rightarrow 84=20r \Rightarrow r=4{,}2.$

Alternativa correta: (b).