As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. IV. g(x) = (x+5)/(x^2 + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) - 1/(x+2). Está correto apenas o que se afirma em:

Analisando as assertivas:

I. $f(x)=\dfrac{\cos x}{\sen x}=\cot x$ é integrável (por exemplo, $\int \cot x\,dx=\ln|\sen x|+C$), porém não é um caso de integração de função racional por frações parciais (não é quociente de polinômios). Logo, a afirmação, no contexto do método de frações parciais, está incorreta.

II. Verdadeira: uma função racional pode ser decomposta em soma de frações parciais (quando aplicável), facilitando a integração.

III. Falsa: para decompor diretamente em frações parciais, tipicamente exige-se que a fração seja própria, isto é, $\deg(P)<\deg(Q)$. Se $\deg(P)\ge\deg(Q)$, primeiro faz-se a divisão polinomial.

IV. Verdadeira: $\frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.$ Então $x+5=A(x+2)+B(x-1)=(A+B)x+(2A-B)$. Logo, $A+B=1$ e $2A-B=5$ $\Rightarrow A=2,\;B=-1$. Assim, $g(x)=\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+2}$.

Portanto, está correto apenas o que se afirma em II e IV.