O estudo sobre integral de Riemann fornece informações para resolver vários problemas relacionados ao cálculo da integral. Considerando as funções f(x) e g(x) integráveis no intervalo [a,b], temos algumas propriedades da integral em decorrência da definição de integral de Riemann. Resolva ∫_0^2 (x^3 + 3x - 1) dx e assinale a alternativa correspondente.

Vamos calcular a integral definida:

$\int_0^2 (x^3 + 3x - 1)\,dx$

1. Integramos termo a termo:

• $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}$
• $\int 3x\,dx = \frac{3x^2}{2}$
• $\int (-1)\,dx = -x$

Logo, uma primitiva é:

$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}-x$

2. Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int_0^2 (x^3+3x-1)\,dx = F(2)-F(0)$

Calculando:

$F(2)=\frac{2^4}{4}+\frac{3\cdot 2^2}{2}-2=\frac{16}{4}+\frac{12}{2}-2=4+6-2=8$

$F(0)=0$

Então o valor da integral é:

$F(2)-F(0)=8-0=8$

Alternativa correta: (d).