Um capital foi aplicado por seis meses a juros compostos de 30% a.a. Determine o valor do capital sabendo que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa composta, renderia em três meses R$ 18,42.

Seja $C$ o capital inicial.

1. Aplicação por 6 meses a 30% a.a. (juros compostos)

A taxa semestral equivalente é $i_{6m}=(1+0{,}30)^{6/12}-1=(1{,}30)^{1/2}-1.$ O montante ao fim de 6 meses: $M_6=C(1{,}30)^{1/2}.$ Os juros ganhos no período: $J_6=M_6-C=C\big((1{,}30)^{1/2}-1\big).$

2. Novo capital para reaplicação

O enunciado diz: “o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos”. Logo, o valor reaplicado é \begin{align*} C_2 &= M_6-\frac{1}{2}J_6 \ &= C(1{,}30)^{1/2}-\frac{1}{2},C\big((1{,}30)^{1/2}-1\big) \ &= C\left[\frac{1}{2}(1{,}30)^{1/2}+\frac{1}{2}\right] \ &= \frac{C}{2}\left((1{,}30)^{1/2}+1\right). \end{align*}

3. Reaplicação por 3 meses rendendo R$ 18,42

A taxa trimestral equivalente é $i_{3m}=(1+0{,}30)^{3/12}-1=(1{,}30)^{1/4}-1.$ O rendimento (juros) em 3 meses é $J_3=C_2\,i_{3m}=18{,}42.$ Substituindo $C_2$: $18{,}42=\frac{C}{2}\left((1{,}30)^{1/2}+1\right)\left((1{,}30)^{1/4}-1\right).$ Isolando $C$: $C=\frac{2\cdot 18{,}42}{\left((1{,}30)^{1/2}+1\right)\left((1{,}30)^{1/4}-1\right)}.$ Calculando: $(1{,}30)^{1/2}\approx 1{,}140175$, $(1{,}30)^{1/4}\approx 1{,}067790$. Então \begin{align*} \left((1{,}30)^{1/2}+1\right)\left((1{,}30)^{1/4}-1\right) &\approx (2{,}140175)(0{,}067790) \ &\approx 0{,}145131. \end{align*} Logo, $C\approx \frac{36{,}84}{0{,}145131}\approx 253{,}9.$ Portanto, $C\approx 253{,}93$.

Alternativa correta: (C).