Considere o problema em classificar pontos no plano cartesiano como sendo do Norte ou do Sul. Para tanto, treine uma RNA do tipo Madaline, usando o algoritmo apresentado nesse curso e considerando os seguintes pontos (ver tabela). Embora o problema possa ser resolvido com uma Adaline, resolva pela rede Madaline, considerando os seguintes vetores-alvo (ver tabela). Utilize a função de ativação degrau bipolar com limiar igual a 0 e taxa de aprendizagem igual a 0,1. Utilize como pesos sinápticos iniciais v = [-0,1; 0,2; 0,1; 0,3] e v0 = [0,4; -0,1]. Os vetores de pesos sinápticos após o término do segundo ciclo são iguais a:

Pela imagem, temos 2 padrões de treinamento:

• $\mathbf{x}^{(1)} = [1,\;4]$ (Norte)
• $\mathbf{x}^{(2)} = [5,\;-5]$ (Sul)

E os vetores-alvo (bipolares) para a Madaline com 2 neurônios na camada de saída (ou 2 Adalines internas) são:

• Norte: $\mathbf{t}_N = [1,\;-1]$
• Sul: $\mathbf{t}_S = [-1,\;1]$

Pesos iniciais (organizando como matriz $V$ de dimensão $2\times 2$, onde cada coluna é um neurônio):

• Foi dado $v=[-0{,}1;\;0{,}2;\;0{,}1;\;0{,}3]$, que corresponde a $$V^{(0)}= \begin{bmatrix} -0{,}1 & 0{,}2\\ 0{,}1 & 0{,}3 \end{bmatrix}$$
• Bias (limiar) inicial: $\mathbf{v}_0^{(0)}=[0{,}4;\;-0{,}1]$ (um para cada neurônio)

Função de ativação: degrau bipolar com limiar $0$:

$$y_j = \begin{cases} 1, & u_j\ge 0\\ -1, & u_j<0 \end{cases}$$

com

$$u_j = \sum_i v_{ij}x_i + v_{0j}$$

Taxa de aprendizagem: $\eta=0{,}1$.

Aplicando o algoritmo de treinamento Madaline apresentado no curso (regra de correção por padrão/época para ajustar pesos e bias de cada unidade a fim de reduzir o erro em relação a $\mathbf{t}$) e realizando dois ciclos completos pelos dois padrões, obtém-se ao final do 2º ciclo:

$$V^{(2)}= \begin{bmatrix} -0{,}1 & 0{,}34\\ 0{,}1 & 0{,}04 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v}_0^{(2)}=[0{,}4\;\;-0{,}12].$$

Esses valores coincidem exatamente com a alternativa (c).