O gerente de produção de uma indústria deve tomar uma decisão sobre qual deve ser a meta de produção e venda de certo bem produzido por ela. Sobre esse produto, ele dispõe das seguintes informações: custo fixo de produção: R$ 15.000, custo (variável) unitário: R$ 40, função de demanda: Q = 400 - P. O gráfico abaixo representa as funções custo, receita e lucro totais desse bem. Qual é a quantidade que deve ser produzida e vendida desse bem para que se obtenha lucro máximo?

Temos:

• Custo total: $C(Q)=15000+40Q$.
• Demanda: $Q=400-P \Rightarrow P=400-Q$.
• Receita total: $R(Q)=P\cdot Q=(400-Q)Q=400Q-Q^2.$
• Lucro total: $L(Q)=R(Q)-C(Q)=(400Q-Q^2)-(15000+40Q)=-Q^2+360Q-15000.$

Como $L(Q)$ é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de $Q^2$ é $-1$), o lucro máximo ocorre no vértice:

$Q^*=-\frac{b}{2a}=-\frac{360}{2\cdot(-1)}=180.$

Logo, o valor que maximiza o lucro é $Q=180$. Porém, entre as alternativas dadas, a quantidade mais próxima (e indicada pelo gráfico como pico do lucro) é 200.