Delano tem apenas moedas de 50, 10 e 5 centavos. Ele possui 31 moedas ao todo. Além disso, sabe-se que: - pelo menos 16 moedas são de 50 ou 10 centavos; - pelo menos 16 moedas são de 50 ou 5 centavos; - pelo menos 16 moedas são de 10 ou 5 centavos. Qual é o maior valor que Delano pode ter?

Sejam:

• $x$ = número de moedas de 50 centavos
• $y$ = número de moedas de 10 centavos
• $z$ = número de moedas de 5 centavos

Temos $x+y+z=31$.

As condições dadas:

1. “pelo menos 16 são de 50 ou 10” $\Rightarrow x+y\ge 16$.
2. “pelo menos 16 são de 50 ou 5” $\Rightarrow x+z\ge 16$.
3. “pelo menos 16 são de 10 ou 5” $\Rightarrow y+z\ge 16$.

Subtraindo cada uma de $x+y\ge 16$, $x+z\ge 16$, $y+z\ge 16$ da soma total $x+y+z=31$:

• De $x+y\ge 16$: $z=31-(x+y)\le 15$.
• De $x+z\ge 16$: $y\le 15$.
• De $y+z\ge 16$: $x\le 15$.

Ou seja, cada tipo de moeda pode aparecer no máximo 15 vezes.

Queremos maximizar o valor total: [ V = 0{,}50x + 0{,}10y + 0{,}05z. ] Para maximizar $V$, devemos colocar o máximo possível de moedas de 50 centavos, respeitando $x\le 15$. Logo, tome $x=15$.

Então $y+z=31-15=16$. Para maximizar o valor, escolhemos o máximo de moedas de 10 centavos (pois valem mais que as de 5). Como $y\le 15$, podemos fazer $y=15$ e $z=1$.

Verificando as restrições:

• $x+y = 15+15=30\ge 16$ OK
• $x+z = 15+1=16\ge 16$ OK
• $y+z = 15+1=16\ge 16$ OK

Valor máximo: [ V = 0{,}50\cdot 15 + 0{,}10\cdot 15 + 0{,}05\cdot 1 = 7{,}50 + 1{,}50 + 0{,}05 = 9{,}05. ]

Portanto, o maior valor possível é R$ 9,05. Alternativa correta: D.