Os vetores canônicos \(\vec{i}=(1,0)\) e \(\vec{j}=(0,1)\) formam uma base para o espaço \(\mathbb{R}^2\), ou seja, podemos obter qualquer vetor deste espaço a partir de combinações lineares de \(\vec{i}\) e \(\vec{j}\). Se \(\vec{v}=8\vec{i}-3\vec{j}\), qual é a representação de \(\vec{v}\) na forma de suas componentes?
Questão
Os vetores canônicos (\vec{i}=(1,0)) e (\vec{j}=(0,1)) formam uma base para o espaço (\mathbb{R}^2), ou seja, podemos obter qualquer vetor deste espaço a partir de combinações lineares de (\vec{i}) e (\vec{j}). Se (\vec{v}=8\vec{i}-3\vec{j}), qual é a representação de (\vec{v}) na forma de suas componentes?
Imagem 1
Fórmula 1: (\vec{i}=(1,0),\ \vec{j}=(0,1))
Imagem 2
Fórmula 2: (\vec{v}=8\vec{i}-3\vec{j})
Alternativas
A) v = (1,-1)
B) v = (8,3)
C) v = (1,1)
D) v = (8,-3)
Explicação
Sabemos que os vetores canônicos são [\vec{i}=(1,0),\quad \vec{j}=(0,1).] Dado [\vec{v}=8\vec{i}-3\vec{j},] substituímos pelas componentes: [\vec{v}=8(1,0)-3(0,1).] Agora calculamos cada termo: [8(1,0)=(8,0),\quad -3(0,1)=(0,-3).] Somando: [\vec{v}=(8,0)+(0,-3)=(8,-3).] Alternativa correta: (D).