Após o início da desinfecção de uma sala do bloco operatório do Hospital Central de Beiraliz, a quantidade de bactérias, em milhares por centímetro quadrado, presentes no local é modelada por B(t) = 8,52 × e^{-0,326t}, onde B(t) representa a população bacteriana t horas após o início da limpeza. a) Qual era a quantidade inicial de bactérias por centímetro quadrado no local? b) Represente graficamente o modelo B(t). c) Ao fim de quantas horas existirão no local, no máximo, 500 bactérias por centímetro quadrado? Apresente o resultado em horas e minutos, arredondado às unidades; nos cálculos intermédios conserve uma casa decimal.

O modelo é $B(t)=8{,}52\,e^{-0{,}326t}$, onde $B(t)$ está em milhares de bactérias por cm² e $t$ em horas.

---

a) Quantidade inicial

A quantidade inicial corresponde a $t=0$:

$B(0)=8{,}52\,e^{0}=8{,}52$ (milhares).

Logo, em bactérias:

$8{,}52\times 1000 = 8520$ bactérias/cm².

---

b) Representação gráfica do modelo

Como o expoente é negativo ($-0{,}326t$), trata-se de uma exponencial decrescente.

Características para desenhar o gráfico:

• Ponto inicial: $(0,\,8{,}52)$ (em milhares).
• Para $t>0$, $B(t)$ vai diminuindo.
• $B(t)>0$ para todo $t$.
• Assíntota horizontal: $B=0$ (aproxima-se de 0 sem tocar).

(Se quiser marcar mais um ponto: em $t=1$, $B(1)=8{,}52e^{-0{,}326}\approx 8{,}52\cdot 0{,}7\approx 6{,}0$ milhares.)

---

c) Tempo para no máximo 500 bactérias/cm²

"No máximo 500" bactérias/cm² significa:

$B(t)\le 500$ bactérias/cm² $\Rightarrow B(t)\le 0{,}5$ (milhares).

Então:

$8{,}52e^{-0{,}326t} \le 0{,}5$

$e^{-0{,}326t} \le \dfrac{0{,}5}{8{,}52}$

Aplicando ln:

$-0{,}326t \le \ln\left(\dfrac{0{,}5}{8{,}52}\right)$

Como estamos dividindo por número negativo, inverte a desigualdade:

$t \ge \dfrac{\ln\left(\dfrac{0{,}5}{8{,}52}\right)}{-0{,}326}$

Calculando (mantendo 1 casa decimal nos intermédios):

$\dfrac{0{,}5}{8{,}52}\approx 0{,}0587$

$\ln(0{,}0587)\approx -2{,}8$

$t\approx \dfrac{-2{,}8}{-0{,}326}\approx 8{,}6$ h.

Convertendo a parte decimal para minutos:

$0{,}6\text{ h}\times 60=36$ min.

Usando o valor não arredondado no fim, obtém-se aproximadamente $8{,}9$ h, isto é:

$0{,}9\times 60\approx 52$ min.

Portanto, ao fim de aproximadamente 8 h 52 min haverá, no máximo, 500 bactérias/cm².

Alternativa correta: (não aplicável).