De quantas maneiras distintas se podem colocar em fila m rapazes e n raparigas de maneira que as raparigas fiquem sempre juntas (m ≥ 1, n ≥ 1)?

Para que as $n$ raparigas fiquem sempre juntas, tratamos todas elas como um único “bloco”.

1. Arranjar os rapazes e o bloco das raparigas

• Há $m$ rapazes distintos e 1 bloco (das raparigas).
• No total, temos $m+1$ “objetos” distintos para colocar em fila.
• O número de filas possíveis é $(m+1)!$.

2. Permutar as raparigas dentro do bloco

• Dentro do bloco, as $n$ raparigas (distintas) podem ser ordenadas de $n!$ maneiras.

3. Multiplicar as contagens Logo, o total é: $(m+1)!\,\cdot\,n!$

4. Forma equivalente Como $(m+1)! = (m+1)\,m!$, também podemos escrever: $(m+1)!\,n! = (m+1)\,m!\,n!$

Portanto, existem $m!\,n!\,(m+1)$ maneiras distintas.