Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador. Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária, e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível. Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?

As 100 parcelas formam uma progressão geométrica (PG), pois cada parcela a partir da 2ª é obtida aplicando-se um acréscimo percentual fixo sobre a anterior.

• Seja $P_1$ o valor da 1ª parcela (paga no ato da compra).
• Seja $q>1$ a razão da PG (pois há aumento percentual fixo).

Então: [ P_k = P_1,q^{k-1} \quad (k=1,2,\dots,100). ]

A imobiliária paga todas as parcelas do mês de maio (mês de aniversário do comprador). Logo, para minimizar o total pago pelo cliente, ele deve fazer com que as parcelas “gratuitas” sejam as maiores possíveis, já que a PG é crescente.

As parcelas maiores são as mais próximas do final do financiamento. Portanto, o cliente deve escolher o mês de compra de modo que o maior número possível de parcelas de maio ocorra o mais tarde possível dentro das 100 parcelas.

Se ele compra em maio, então as parcelas de maio correspondem aos números: [ 1,; 13,; 25,; 37,; 49,; 61,; 73,; 85,; 97. ] Ou seja, ele ganha (não paga) parcelas até a $97^{\text{a}}$, incluindo uma parcela muito alta (a de número 97), que é maior do que qualquer parcela de maio que ele ganharia se comprasse em outro mês (pois deslocaria essas parcelas de maio para números menores, como 96, 95, etc.).

Como em uma PG crescente ($q>1$), “tirar” uma parcela de índice maior reduz mais o total do que “tirar” uma parcela de índice menor. Assim, comprar em maio minimiza o total pago.

Alternativa correta: C.