Em um torneio de squash entre três jogadores, A, B e C, cada um dos competidores enfrenta todos os demais uma única vez (isto é, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C). Assuma as seguintes probabilidades: P(A vença B) = 0,6, P(A vença C) = 0,7, P(B vença C) = 0,6. Assumindo independência entre os resultados das partidas, qual a probabilidade de que A vença um número de partidas pelo menos tão grande quanto qualquer outro jogador?

Há 3 jogos independentes: AB, AC e BC.

Defina os eventos:

• $X_{AB}$: A vence B, com $P=0{,}6$.
• $X_{AC}$: A vence C, com $P=0{,}7$.
• $X_{BC}$: B vence C, com $P=0{,}6$.

Queremos $P(\text{A tem número de vitórias }\ge$ ao de qualquer outro$)$, isto é, A fica (ao menos) empatado na maior quantidade de vitórias.

Vamos enumerar pelos resultados de A:

1) A vence as duas (2 vitórias)

A bate B e C: $X_{AB}$ e $X_{AC}$.

• Probabilidade: $0{,}6\cdot 0{,}7=0{,}42$.

Nesse caso A tem 2 vitórias, e os demais têm no máximo 1, então A certamente satisfaz a condição.

2) A vence exatamente 1 partida

Isso ocorre em dois subcasos:

2.1) A vence B e perde para C

Resultados: $X_{AB}$ e $\neg X_{AC}$.

• Prob.: $0{,}6\cdot 0{,}3=0{,}18$.

Aqui A tem 1 vitória (sobre B) e C tem 1 vitória (sobre A). Para A ter vitórias pelo menos tão grandes quanto qualquer outro, ninguém pode ter 2 vitórias. Isso só aconteceria se C também vencesse B (ou seja, B não vence C).

• Precisamos de $\neg X_{BC}$ (C vence B), com prob. $0{,}4$.
• Prob. conjunta: $0{,}18\cdot 0{,}4=0{,}072$.

2.2) A perde para B e vence C

Resultados: $\neg X_{AB}$ e $X_{AC}$.

• Prob.: $0{,}4\cdot 0{,}7=0{,}28$.

Aqui A tem 1 vitória (sobre C) e B tem 1 vitória (sobre A). Para ninguém ter 2 vitórias, precisamos que B não vença C, isto é, C vença B.

• De novo, precisamos de $\neg X_{BC}$ com prob. $0{,}4$.
• Prob. conjunta: $0{,}28\cdot 0{,}4=0{,}112$.

Somando os casos favoráveis: [ P=0{,}42+0{,}072+0{,}112=0{,}604. ]

Falta considerar o caso em que A vence 0 partidas (A perde as duas). Aí A tem 0 vitórias, então não pode ser pelo menos tão grande quanto os outros (pois alguém terá ao menos 1 vitória). Logo, não contribui.

Mas observe que ainda há um caso em que A vence exatamente 1 e mesmo com $X_{BC}$ (B vence C) A pode empatar no topo? Vamos checar:

• Se A vence B e perde para C e B vence C, então C tem 2 vitórias (vence A e perde para B? na verdade C vence A, mas perde para B pois B vence C). Então C teria 1 vitória, B teria 2? Vamos computar corretamente:
  • A vence B (A=1, B=0)
  • C vence A (C=1, A=1)
  • B vence C (B=1, C=1) Resultado final: A=1, B=1, C=1 (todos com 1). Portanto esse cenário também é favorável.
• Se A perde para B e vence C e B vence C, então:
  • B vence A (B=1)
  • A vence C (A=1)
  • B vence C (B=2) Resultado: A=1, B=2, C=0 (não é favorável).

Então no subcaso 2.1, na verdade qualquer resultado de BC mantém todos com no máximo 1 (pois já temos A>B e C>A; o jogo BxC define apenas um empate triplo ou C com 2? não). Como visto, se B vence C, todos ficam com 1; se C vence B, C fica com 2? Não: C já tem 1 (contra A) e ganharia outra contra B, ficando com 2. Então nesse subcaso precisamos mesmo de B vencer C para evitar C=2. Logo, no subcaso 2.1 precisamos de $X_{BC}$ (B vence C) com prob 0,6, e não $\neg X_{BC}$.

• Prob. correta do subcaso 2.1 favorável: $0{,}18\cdot 0{,}6=0{,}108$.

No subcaso 2.2, para evitar B=2 precisamos de $\neg X_{BC}$ com prob 0,4 (isso estava correto): $0{,}28\cdot 0{,}4=0{,}112$.

Total: [ P=0{,}42+0{,}108+0{,}112=0{,}64. ]

Alternativa correta: (C).