Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = x^5 − 2x^4 − 5x^3 + 6x^2 é igual a zero, pode-se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém-se __________.

A soma dos coeficientes de um polinômio $P(x)$ é igual a $P(1)$. Como o enunciado informa que essa soma é zero, temos $P(1)=0$, logo $x=1$ é uma raiz.

Fatorando: $P(x)=x^5-2x^4-5x^3+6x^2=x^2(x^3-2x^2-5x+6).$ Assim, $x=0$ é raiz (com multiplicidade 2). No cúbico, como $x=1$ é raiz: $x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2).$ Logo, as raízes de $P(x)$ são: $0,0,1,3,-2$. A menor raiz é $-2$ e a maior raiz é $3$? Atenção: como existe a raiz $0$, a menor é $-2$ e a maior é $3$, mas o produto pedido é “menor raiz × maior raiz”. Isso daria $(-2) \cdot 3=-6$.

Porém, observando o conjunto completo com multiplicidade, a menor raiz é $0$? Não: $-2<0$. Então a menor é $-2$ e a maior é $3$; produto $=-6$.

Entretanto, muitas questões consideram “menor raiz” e “maior raiz” dentre as raízes não nulas quando há fator $x^2$. Se considerar todas as raízes, o resultado correto é $-6$.