Determine o polinômio interpolador dos pontos apresentados na tabela abaixo por meio de regressão linear e calcule o resíduo dessa função pelo Método dos Mínimos Quadrados. O resíduo da função interpoladora determinada por regressão linear é:

Queremos ajustar por regressão linear uma reta $\hat y = a x + b$ aos pontos: [(-2,9),\ (0,0{,}5),\ (1,0{,}3),\ (4,9{,}1)] com $n=4$.

1) Coeficientes da regressão linear (MMQ)

Usando as fórmulas: [ a=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x)^2},\qquad b=\bar y-a,\bar x ] Calculando as somas:

• $\sum x = -2+0+1+4 = 3$
• $\sum y = 9+0{,}5+0{,}3+9{,}1 = 18{,}9$
• $\sum x^2 = (-2)^2+0^2+1^2+4^2 = 4+0+1+16=21$
• $\sum xy = (-2)\cdot 9 + 0\cdot 0{,}5 + 1\cdot 0{,}3 + 4\cdot 9{,}1 = -18 + 0 + 0{,}3 + 36{,}4 = 18{,}7$

Então: [ a = \frac{4\cdot 18{,}7 - 3\cdot 18{,}9}{4\cdot 21 - 3^2} = \frac{74{,}8-56{,}7}{84-9} = \frac{18{,}1}{75} \approx 0{,}24133 ] Médias: [\bar x=\frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \bar y=\frac{18{,}9}{4}=4{,}725] Logo: [ b = 4{,}725 - 0{,}24133\cdot 0{,}75 \approx 4{,}725 - 0{,}180999 \approx 4{,}544 ] Assim, a reta ajustada é aproximadamente: [ \hat y \approx 0{,}24133x + 4{,}544 ]

2) Resíduo pelo Método dos Mínimos Quadrados

Em muitos enunciados, “resíduo” é tomado como a soma dos resíduos quadráticos (SSE): [R=\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)^2] Calculando $\hat y$ e os erros:

• Para $x=-2$: $\hat y=0{,}24133(-2)+4{,}544\approx 4{,}06133$. Erro $e=9-4{,}06133\approx 4{,}93867$ → $e^2\approx 24{,}3905$.
• Para $x=0$: $\hat y\approx 4{,}544$. Erro $e=0{,}5-4{,}544=-4{,}044$ → $e^2\approx 16{,}3539$.
• Para $x=1$: $\hat y\approx 4{,}78533$. Erro $e=0{,}3-4{,}78533\approx -4{,}48533$ → $e^2\approx 20{,}1182$.
• Para $x=4$: $\hat y\approx 5{,}50933$. Erro $e=9{,}1-5{,}50933\approx 3{,}59067$ → $e^2\approx 12{,}8929$.

Somando: [ R \approx 24{,}3905+16{,}3539+20{,}1182+12{,}8929 \approx 73{,}7555 \approx 73{,}8 ]

Portanto, o resíduo (SSE) é aproximadamente 73,8.

Alternativa correta: (C).