Gás está sendo bombeado para um balão esférico à razão de 0,1 m³/min. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 0,45 m. Dado: π = 3,14

O volume de uma esfera é

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$.

Derivando em relação ao tempo $t$:

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{4}{3}\pi r^3\right)=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.

Isolando $\dfrac{dr}{dt}$:

$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{\dfrac{dV}{dt}}{4\pi r^2}$.

Substituindo os dados: $\dfrac{dV}{dt}=0{,}1\,\text{m}^3/\text{min}$, $\pi=3{,}14$ e $r=0{,}45\,\text{m}$:

$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{0{,}1}{4\cdot 3{,}14\cdot (0{,}45)^2}$.

Calculando:

$(0{,}45)^2=0{,}2025$

$4\cdot 3{,}14\cdot 0{,}2025=12{,}56\cdot 0{,}2025=2{,}5434$

Logo,

$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{0{,}1}{2{,}5434}\approx 0{,}03931\,\text{m/min}$.

Portanto, a taxa de variação do raio quando $r=0{,}45\,\text{m}$ é aproximadamente $0{,}03931\,\text{m/min}$.

Alternativa correta: (A).