Considere a seguinte transformação linear T: M_{3x3} → M_{3x3} tal que T(A) = A − A^t, onde A é uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Determine então qual é a imagem, nessa transformação linear, de A =

A transformação é $T(A)=A-A^T$.

Dada $A=\begin{pmatrix}1&3&4\\3&6&1\\4&1&5\end{pmatrix}.$

1. Vamos calcular a transposta $A^T$ (trocando linhas por colunas). Note que $A$ é simétrica, pois $a_{ij}=a_{ji}$:

• $a_{12}=3=a_{21}$
• $a_{13}=4=a_{31}$
• $a_{23}=1=a_{32}$

Logo, $A^T=\begin{pmatrix}1&3&4\\3&6&1\\4&1&5\end{pmatrix}=A.$

2. Então $T(A)=A-A^T=A-A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$