Considere o sistema de equações, resolva este sistema por eliminação de Gauss e marque a alternativa correta.
Questão
Considere o sistema de equações, resolva este sistema por eliminação de Gauss e marque a alternativa correta.
Imagem 1
2x₁ + x₂ - x₃ = 0 x₁ + 3x₂ + x₃ = 3 3x₁ - x₂ + 4x₃ = 11
Alternativas
A) x₁=0; x₂=2 e x₃=1
B) x₁=2; x₂=1 e x₃=1
C) x₁=0; x₂=1 e x₃=2
D) x₁=1; x₂=0 e x₃=2
Explicação
O sistema é:
2x_1+x_2-x_3=0\\ x_1+3x_2+x_3=3\\ 3x_1-x_2+4x_3=11 \end{cases}$$ Montando a matriz aumentada e aplicando eliminação de Gauss: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 3 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 4 & 11 \end{array}\right]$$ 1) Trocar $L_1 \leftrightarrow L_2$ (para usar pivô 1): $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 3\\ 2 & 1 & -1 & 0\\ 3 & -1 & 4 & 11 \end{array}\right]$$ 2) Zerando abaixo do pivô da 1ª coluna: - $L_2 \leftarrow L_2-2L_1$: $$[2,1,-1|0]-2[1,3,1|3]=[0,-5,-3|-6]$$ - $L_3 \leftarrow L_3-3L_1$: $$[3,-1,4|11]-3[1,3,1|3]=[0,-10,1|2]$$ Fica: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 3\\ 0 & -5 & -3 & -6\\ 0 & -10 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ 3) Zerando abaixo do pivô da 2ª coluna: Escolha $L_3 \leftarrow L_3-2L_2$: $$[0,-10,1|2]-2[0,-5,-3|-6]=[0,0,7|14]$$ Logo: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 3\\ 0 & -5 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 7 & 14 \end{array}\right]$$ 4) Retrossubstituição: - Da 3ª linha: $7x_3=14 \Rightarrow x_3=2$. - Da 2ª linha: $-5x_2-3x_3=-6 \Rightarrow -5x_2-3(2)=-6 \Rightarrow -5x_2=0 \Rightarrow x_2=0$. - Da 1ª linha: $x_1+3x_2+x_3=3 \Rightarrow x_1+3(0)+2=3 \Rightarrow x_1=1$. Portanto, $(x_1,x_2,x_3)=(1,0,2)$, que corresponde à alternativa D. Alternativa correta: (D).Travou em outra questão? A gente resolve.
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