Considere a transformação linear a seguir: T: M_{2x2} → M_{2x2} tal que T(\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x - y & 0 \\ 0 & z - w \end{pmatrix}, com x, y, z e w pertencentes ao conjunto dos números reais (\mathbb{R}) e M_{2x2} o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. Determine então a imagem da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}.

A transformação linear é dada por [ T\left(\begin{pmatrix}x & y\ z & w\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}x-y & 0\ 0 & z-w\end{pmatrix}. ]

Para a matriz [ A=\begin{pmatrix}1 & -3\ 2 & 7\end{pmatrix}, ] identificamos: $x=1$, $y=-3$, $z=2$, $w=7$.

Agora calculamos as entradas da imagem:

• Elemento (1,1): $x-y = 1-(-3)=1+3=4$.
• Elemento (2,2): $z-w = 2-7=-5$.
• As demais entradas são zero pela definição de $T$.

Logo, [ T(A)=\begin{pmatrix}4 & 0\ 0 & -5\end{pmatrix}. ]

Alternativa correta: (a).