Considere a transformação linear a seguir: T: M_{2x2} → M_{2x2} tal que T(\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x - y & 0 \\ 0 & z - w \end{pmatrix}, com x, y, z e w pertencentes ao conjunto dos números reais (\mathbb{R}) e M_{2x2} o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. Determine então a imagem da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}.

Questão

Considere a transformação linear a seguir: T: M_{2x2} → M_{2x2} tal que T(\begin{pmatrix} x & y \ z & w \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x - y & 0 \ 0 & z - w \end{pmatrix}, com x, y, z e w pertencentes ao conjunto dos números reais (\mathbb{R}) e M_{2x2} o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. Determine então a imagem da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \ 2 & 7 \end{pmatrix}.

Imagem 1

T((xyzw))=(x−y00z−w)T\left(\begin{pmatrix}x & y\\ z & w\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}x-y & 0\\ 0 & z-w\end{pmatrix}

Imagem 2

A=(1−327)A=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 2 & 7\end{pmatrix}

Alternativas

A
Resposta certa

[ 4 0 0 -5 ]

B

[ 0 0 0 5 ]

C

[ 4 0 0 7 ]

D

[ -1 0 0 5 ]

E

[ -4 0 0 5 ]

Explicação

A transformação linear é dada por

T((xyzw))=(x−y00z−w).T\left(\begin{pmatrix}x & y\\ z & w\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}x-y & 0\\ 0 & z-w\end{pmatrix}.

Para a matriz

A=(1−327),A=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 2 & 7\end{pmatrix},

identificamos: x=1x=1, y=−3y=-3, z=2z=2, w=7w=7.

Agora calculamos as entradas da imagem:

  • Elemento (1,1): x−y=1−(−3)=1+3=4x-y = 1-(-3)=1+3=4.
  • Elemento (2,2): z−w=2−7=−5z-w = 2-7=-5.
  • As demais entradas são zero pela definição de TT.

Logo,

T(A)=(400−5).T(A)=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & -5\end{pmatrix}.
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