Observa o gráfico da função quadrática f do tipo y = ax². • O gráfico de f contém o ponto A(9, −27), não representado na figura. • B e C pertencem ao gráfico de f, sendo a abcissa de C o dobro da abcissa de B. • D e E pertencem ao eixo das ordenadas. • [BCDE] é um trapézio retângulo. • A área do trapézio é igual a 81/16 u.a. • A figura não está feita à escala. 8.1. Determina as coordenadas dos pontos B e C. 8.2. Calcula o valor exato do perímetro do trapézio.

Como $f$ é do tipo $y=ax^2$ e o gráfico passa por $A(9,-27)$, temos:

$$-27=a\cdot 9^2=a\cdot 81 \Rightarrow a=-\frac{27}{81}=-\frac13.$$

Logo,

$$f(x)=-\frac13 x^2.$$

Seja a abscissa de $B$ igual a $t>0$. Então a abscissa de $C$ é o dobro, isto é, $2t$. Assim,

$$B\,(t,f(t))=\left(t,-\frac13 t^2\right),\qquad C\,(2t,f(2t))=\left(2t,-\frac13(2t)^2\right)=\left(2t,-\frac43 t^2\right).$$

Como $D$ e $E$ pertencem ao eixo das ordenadas ($x=0$) e $\overline{EB}$ e $\overline{DC}$ são horizontais (como na figura), então:

$$E=(0,f(t))=\left(0,-\frac13 t^2\right),\qquad D=(0,f(2t))=\left(0,-\frac43 t^2\right).$$

O trapézio retângulo $BCDE$ tem bases paralelas $\overline{EB}$ e $\overline{DC}$, com comprimentos:

$$EB=t-0=t,\qquad DC=2t-0=2t.$$

A altura é a distância vertical entre essas bases:

$$h=\left|f(t)-f(2t)\right|=\left|-\frac13 t^2-\left(-\frac43 t^2\right)\right|=\left|t^2\right|=t^2.$$

Área do trapézio:

$$A=\frac{EB+DC}{2}\cdot h=\frac{t+2t}{2}\cdot t^2=\frac{3t}{2}\cdot t^2=\frac{3}{2}t^3.$$

Dado $A=\frac{81}{16}$:

$$\frac{3}{2}t^3=\frac{81}{16}\Rightarrow t^3=\frac{81}{16}\cdot\frac{2}{3}=\frac{27}{8}\Rightarrow t=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}.$$

Então:

$$B=\left(\frac32,-\frac13\cdot\frac{9}{4}\right)=\left(\frac32,-\frac34\right),$$ $$C=\left(3,-\frac13\cdot 9\right)=(3,-3).$$

Para o perímetro, somamos os lados $EB$, $DC$, $DE$ e $BC$.

1. Bases:

$$EB=t=\frac32,\qquad DC=2t=3.$$

2. Lado vertical:

$$DE=\left|f(t)-f(2t)\right|=t^2=\left(\frac32\right)^2=\frac{9}{4}.$$

3. Lado inclinado $BC$:

$$BC=\sqrt{(3-\frac32)^2+(-3+\frac34)^2} =\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac{9}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{81}{16}} =\sqrt{\frac{117}{16}} =\frac{3\sqrt{13}}{4}.$$

Assim,

$$P=EB+DC+DE+BC=\frac32+3+\frac94+\frac{3\sqrt{13}}{4} =\frac{6}{4}+\frac{12}{4}+\frac{9}{4}+\frac{3\sqrt{13}}{4} =\frac{27+3\sqrt{13}}{4}.$$

Porém, observando que no trapézio retângulo da figura o lado oblíquo é $\overline{BC}$ e o perímetro deve ser a soma exata acima; substituindo $t=\frac32$ resulta:

$$P=\frac{27+3\sqrt{13}}{4}.$$

Como valor exato final:

$$\boxed{P=\frac{27+3\sqrt{13}}{4}}.$$

(Logo, em forma simplificada, $P=\dfrac{3(9+\sqrt{13})}{4}$.)