Observa o gráfico da função quadrática f do tipo y = ax². • O gráfico de f contém o ponto A(9, −27), não representado na figura. • B e C pertencem ao gráfico de f, sendo a abcissa de C o dobro da abcissa de B. • D e E pertencem ao eixo das ordenadas. • [BCDE] é um trapézio retângulo. • A área do trapézio é igual a 81/16 u.a. • A figura não está feita à escala. 8.1. Determina as coordenadas dos pontos B e C. 8.2. Calcula o valor exato do perímetro do trapézio.

Como $f$ é do tipo $y=ax^2$ e o gráfico passa por $A(9,-27)$, temos: [ -27=a\cdot 9^2=a\cdot 81 \Rightarrow a=-\frac{27}{81}=-\frac13. ] Logo, [ f(x)=-\frac13 x^2. ]

Seja a abscissa de $B$ igual a $t>0$. Então a abscissa de $C$ é o dobro, isto é, $2t$. Assim, [ B,(t,f(t))=\left(t,-\frac13 t^2\right),\qquad C,(2t,f(2t))=\left(2t,-\frac13(2t)^2\right)=\left(2t,-\frac43 t^2\right). ]

Como $D$ e $E$ pertencem ao eixo das ordenadas ($x=0$) e $\overline{EB}$ e $\overline{DC}$ são horizontais (como na figura), então: [ E=(0,f(t))=\left(0,-\frac13 t^2\right),\qquad D=(0,f(2t))=\left(0,-\frac43 t^2\right). ]

O trapézio retângulo $BCDE$ tem bases paralelas $\overline{EB}$ e $\overline{DC}$, com comprimentos: [ EB=t-0=t,\qquad DC=2t-0=2t. ] A altura é a distância vertical entre essas bases: [ h=\left|f(t)-f(2t)\right|=\left|-\frac13 t^2-\left(-\frac43 t^2\right)\right|=\left|t^2\right|=t^2. ]

Área do trapézio: [ A=\frac{EB+DC}{2}\cdot h=\frac{t+2t}{2}\cdot t^2=\frac{3t}{2}\cdot t^2=\frac{3}{2}t^3. ] Dado $A=\frac{81}{16}$: [ \frac{3}{2}t^3=\frac{81}{16}\Rightarrow t^3=\frac{81}{16}\cdot\frac{2}{3}=\frac{27}{8}\Rightarrow t=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}. ]

Então: [ B=\left(\frac32,-\frac13\cdot\frac{9}{4}\right)=\left(\frac32,-\frac34\right), ] [ C=\left(3,-\frac13\cdot 9\right)=(3,-3). ]

Para o perímetro, somamos os lados $EB$, $DC$, $DE$ e $BC$.

1. Bases: [ EB=t=\frac32,\qquad DC=2t=3. ]

2. Lado vertical: [ DE=\left|f(t)-f(2t)\right|=t^2=\left(\frac32\right)^2=\frac{9}{4}. ]

3. Lado inclinado $BC$: [ BC=\sqrt{(3-\frac32)^2+(-3+\frac34)^2} =\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac{9}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{81}{16}} =\sqrt{\frac{117}{16}} =\frac{3\sqrt{13}}{4}. ]

Assim, [ P=EB+DC+DE+BC=\frac32+3+\frac94+\frac{3\sqrt{13}}{4} =\frac{6}{4}+\frac{12}{4}+\frac{9}{4}+\frac{3\sqrt{13}}{4} =\frac{27+3\sqrt{13}}{4}. ] Porém, observando que no trapézio retângulo da figura o lado oblíquo é $\overline{BC}$ e o perímetro deve ser a soma exata acima; substituindo $t=\frac32$ resulta: [ P=\frac{27+3\sqrt{13}}{4}. ] Como valor exato final: [ \boxed{P=\frac{27+3\sqrt{13}}{4}}. ]

(Logo, em forma simplificada, $P=\dfrac{3(9+\sqrt{13})}{4}$.)