Para um gerador de tensão alternada, simples, que é composto por uma espira retangular girando dentro de um campo magnético uniforme: Apresentar um desenho em perspectiva de um sistema de 3 eixos cartesianos, tendo o plano do papel como o plano xy, o eixo x horizontal e o eixo z vertical. Representar um campo magnético paralelo ao eixo x (horizontal) e perpendicular ao eixo y (vertical). Utilizando um desenho em perspectiva representar uma espira retangular com eixo de simetria (e eixo de rotação), paralelo ao eixo z. Representar no eixo de rotação da espira que o sentido de rotação é anti-horário e que a velocidade angular é ω. Representar a espira em 2 instantes diferentes, sendo: - No instante t = 0: o plano da espira está paralelo ao eixo x. - Em um instante t > 0: a espira girou de um ângulo θ, no sentido anti-horário. Nesta última figura representar o ângulo de giro (θ), a reta normal ao plano da espira que passa pelo centro, o vetor campo magnético B e a componente normal B_n do vetor campo magnético. Escrever o módulo da componente normal B_n como função do ângulo θ de giro. Escrever o módulo da componente normal B_n como função do tempo, sabendo-se que θ = ω · t. Determinar o fluxo magnético como função do tempo. Determinar a força eletromotriz induzida na espira como função do tempo. Refazer o item anterior considerando os seguintes dados: frequência de rotação: 60 Hz (sendo ω = 2π f); área da espira: 1,00 m²; intensidade do campo magnético uniforme: 4,00 · 10⁻² tesla Representar o gráfico de força eletromotriz induzida como função do tempo, representando no eixo horizontal duas escalas: tempo t em segundos e fase θ da oscilação em radianos.

Configuração (descrição para o desenho em perspectiva)

1. Eixos cartesianos

• Considere o plano do papel como plano $xy$.
• Eixo $x$: horizontal.
• Eixo $y$: vertical (no plano do papel).
• Eixo $z$: perpendicular ao plano do papel (para “fora” do papel), formando um sistema de 3 eixos.

2. Campo magnético uniforme

• Desenhe o vetor $\vec B$ paralelo ao eixo $x$ (horizontal), apontando, por exemplo, para a direita.

3. Espira retangular girante

• Desenhe uma espira retangular cujo eixo de simetria (e de rotação) é paralelo ao eixo $z$ (isto é, a espira gira “em torno” de um eixo que sai do papel).
• Indique no eixo de rotação o sentido anti-horário e a velocidade angular $\omega$.

4. Dois instantes

• Em $t=0$: desenhe a espira com seu plano “paralelo ao eixo $x$” (interpretação geométrica: o plano da espira está orientado de modo que sua reta normal fique inicialmente perpendicular a $\vec B$, o que dá fluxo inicial nulo; isso é o caso típico do gerador em que $\Phi(0)=0$).
• Em $t>0$: a espira girou um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário.
  • Desenhe a reta normal ao plano da espira passando pelo centro.
  • Desenhe $\vec B$.
  • Mostre o ângulo $\theta$ entre a orientação inicial e a atual (em torno de $z$).
  • Indique a componente normal $B_n$ (componente de $\vec B$ na direção da normal do plano da espira).

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1) Módulo de $B_n$ em função do ângulo $\theta$

A componente de $\vec B$ na direção da normal da espira é [ B_n = B\cos\alpha ] onde $\alpha$ é o ângulo entre $\vec B$ e a normal ao plano da espira.

Pela condição do enunciado (em $t=0$ o fluxo é nulo), a normal começa perpendicular a $\vec B$, e ao girar de $\theta$ a normal passa a fazer $\alpha = \frac{\pi}{2}-\theta$ com $\vec B$. Logo, [ |B_n(\theta)| = B,|\cos(\tfrac{\pi}{2}-\theta)| = B,|\sin\theta|. ] Se você quiser a expressão sem módulo (com sinal, útil para o fluxo e FEM): [ B_n(\theta)=B\sin\theta. ]

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2) Módulo de $B_n$ em função do tempo (com $\theta=\omega t$)

[ |B_n(t)| = B,|\sin(\omega t)|, ] (e com sinal: $B_n(t)=B\sin(\omega t)$).

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3) Fluxo magnético em função do tempo

O fluxo é [ \Phi(t)=\vec B\cdot \vec A = BA\cos\alpha. ] Com $\alpha=\frac{\pi}{2}-\omega t$: [ \Phi(t)=BA\sin(\omega t). ] (Se houver $N$ espiras, seria $\Phi_N(t)=NBA\sin(\omega t)$; aqui é uma espira, $N=1$.)

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4) Força eletromotriz induzida na espira em função do tempo

Pela lei de Faraday-Lenz: [ \varepsilon(t)=-\frac{d\Phi(t)}{dt}. ] Como $\Phi(t)=BA\sin(\omega t)$, [ \varepsilon(t)=-BA,\omega\cos(\omega t). ] A amplitude (valor de pico) é [ \varepsilon_0 = BA\omega. ]

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5) Repetindo com os dados numéricos

Dados:

• $f=60\,\text{Hz}$
• $\omega=2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\,\text{rad/s}$
• $A=1{,}00\,\text{m}^2$
• $B=4{,}00\times 10^{-2}\,\text{T}$

Fluxo

[ \Phi(t)=BA\sin(\omega t) = (4{,}00\times 10^{-2})(1{,}00)\sin(120\pi t) ] [ \boxed{\Phi(t)=4{,}00\times 10^{-2},\sin(120\pi t)\ \text{Wb}} ]

FEM induzida

[ \varepsilon(t)=-BA\omega\cos(\omega t) =-(4{,}00\times 10^{-2})(1{,}00)(120\pi)\cos(120\pi t) ] [ \boxed{\varepsilon(t)=-(4{,}8\pi)\cos(120\pi t)\ \text{V}} ] Como número decimal para o pico: [ \varepsilon_0 = 4{,}8\pi\approx 15{,}1,\text{V}. ] Então: [ \boxed{\varepsilon(t)\approx -15{,}1\cos(120\pi t)\ \text{V}} ]

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6) Gráfico de $\varepsilon(t)$ versus tempo com duas escalas ($t$ e $\theta$)

• A função é cossenoidal com amplitude $\varepsilon_0\approx 15{,}1\,\text{V}$ e frequência $60\,\text{Hz}$.
• Período: [ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}\approx 0{,}0167,\text{s}. ]

Para desenhar:

• Eixo vertical: $\varepsilon$ (V), marcando +15,1 V e −15,1 V.
• Eixo horizontal (escala 1): tempo $t$ (s), por exemplo de $0$ a $2T\approx 0{,}0333\,\text{s}$.
• Eixo horizontal (escala 2): fase $\theta=\omega t$ (rad). Em $t=0$, $\theta=0$; em $t=T$, $\theta=2\pi$; em $t=2T$, $\theta=4\pi$.

Pontos notáveis (para facilitar o esboço):

• $t=0$ ($\theta=0$): $\varepsilon(0)=-\varepsilon_0$ (mínimo).
• $t=\tfrac{T}{4}$ ($\theta=\tfrac{\pi}{2}$): $\varepsilon=0$.
• $t=\tfrac{T}{2}$ ($\theta=\pi$): $\varepsilon=+\varepsilon_0$ (máximo).
• $t=\tfrac{3T}{4}$ ($\theta=\tfrac{3\pi}{2}$): $\varepsilon=0$.
• $t=T$ ($\theta=2\pi$): $\varepsilon=-\varepsilon_0$.

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Resumo final das funções (uma espira): [ B_n(\theta)=B\sin\theta,\quad B_n(t)=B\sin(\omega t) ] [ \Phi(t)=BA\sin(\omega t) ] [ \varepsilon(t)=-BA\omega\cos(\omega t) ]

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