Suponha que em uma empresa de caixas de papelão são fabricados três tamanhos diferentes: pequena, média e grande. O custo para fabricação de uma caixa pequena é de R$ 1,50, de uma caixa média é de R$ 2,50 e de uma caixa grande é de R$ 4,00. O custo fixo da empresa é de R$ 5500,00. Com base nessa situação, analise os itens que seguem. I. O problema tem duas variáveis: a quantidade de caixas produzidas, que pode ser denotado por x e o custo total da produção que pode ser denotado por C(x). II. O problema tem como variáveis dependentes a quantidade de caixas médias produzidas, a quantidade de caixas pequenas produzidas e o custo fixo e como variável independente o custo de produção. III. O problema tem como variável dependente o custo de produção e como variáveis independentes a quantidade produzida de caixas pequenas, a quantidade produzida de caixas média e a quantidade produzida de caixas grandes. Assinale a alternativa correta.

Vamos identificar corretamente variáveis independentes e dependentes no contexto.

• O custo total de produção depende de quantas caixas de cada tipo são fabricadas. Logo, o custo é uma variável dependente.
• As quantidades produzidas (pequenas, médias e grandes) são escolhidas/definidas pela produção e, portanto, são variáveis independentes.

Podemos modelar, por exemplo, o custo total por: $C(p,m,g)=5500+1{,}50\,p+2{,}50\,m+4{,}00\,g$ onde $p,m,g$ são as quantidades de caixas pequena, média e grande.

Analisando os itens:

Item I. Diz que há duas variáveis: quantidade produzida (um único $x$) e custo total $C(x)$.

• Isso só faria sentido se existisse apenas um tipo de caixa ou se o enunciado dissesse que as quantidades dos três tamanhos variam juntas (o que não foi dito). Como há três tamanhos com custos diferentes, a quantidade produzida não é naturalmente uma única variável $x$; o natural é ter pelo menos $p, m, g$.
• Portanto, o item I está incorreto.

Item II. Afirma como variáveis dependentes as quantidades de caixas pequenas e médias e o custo fixo, e como independente o custo de produção.

• As quantidades não dependem do custo; ao contrário, o custo depende das quantidades.
• Além disso, custo fixo (R$ 5500,00) é uma constante, não uma variável.
• Portanto, o item II está incorreto.

Item III. Afirma que a variável dependente é o custo de produção e as independentes são as quantidades de caixas pequenas, médias e grandes.

• Isso corresponde exatamente ao modelo $C(p,m,g)$ acima.
• Portanto, o item III está correto.

Alternativa correta: (C).