Uma das aplicações das integrais definidas das funções de uma variável real refere-se ao cálculo do volume de sólidos de rotação, gerados a partir de regiões planas. Suponha que na representação de determinado problema seja empregado o sólido cujo formato pode ser obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas seguintes curvas: y = √x, y = 0, x = 0 e x = 1. Qual das seguintes alternativas indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo do volume do sólido em questão?

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, da região limitada por $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$ e $x=1$, usamos o método dos discos/anel (washers).

1. Ao girar em torno do eixo $x$, cada seção transversal perpendicular ao eixo $x$ forma um disco de raio igual ao valor de $y$.

2. O raio do disco é:

• $R(x) = \sqrt{x}$
• Raio interno $r(x)=0$ (pois a região vai até $y=0$).

3. A área da seção é: $A(x)=\pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big)=\pi\big((\sqrt{x})^2-0^2\big)=\pi x.$

4. O volume é a integral da área de $x=0$ até $x=1$: $V=\int_0^1 A(x)\,dx=\pi\int_0^1 x\,dx.$

Alternativa correta: (A).