No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, os gráficos das funções reais de variável real f(x) = x^2 - 6x + 9 e g(x) = -x^2 + 6x - 1 são parábolas. Os pontos de interseção dessas parábolas juntamente com seus vértices são vértices de um quadrilátero convexo, cuja medida da área é igual a:

1. Identificando vértices das parábolas

• $f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2$. Logo, o vértice de $f$ é $V_f=(3,0)$.
• $g(x)=-x^2+6x-1=-(x^2-6x)-1=-(x-3)^2+8$. Logo, o vértice de $g$ é $V_g=(3,8)$.

2. Pontos de interseção entre as parábolas Resolver $f(x)=g(x)$: [(x-3)^2=-(x-3)^2+8] [2(x-3)^2=8] [(x-3)^2=4\Rightarrow x-3=\pm 2\Rightarrow x=1 \text{ ou } x=5.] Agora os valores de $y$ (usando $f$):

• Para $x=1$: $y=f(1)=(1-3)^2=4$.
• Para $x=5$: $y=f(5)=(5-3)^2=4$. Assim, os pontos de interseção são $A=(1,4)$ e $B=(5,4)$.

3. Quadrilátero convexo formado pelos 4 pontos Os quatro vértices são $V_f=(3,0)$, $V_g=(3,8)$, $A=(1,4)$, $B=(5,4)$. Eles formam um “losango” (na verdade um papagaio/diamante) com diagonais:

• Diagonal vertical: entre $(3,0)$ e $(3,8)$ tem comprimento $d_1=8$.
• Diagonal horizontal: entre $(1,4)$ e $(5,4)$ tem comprimento $d_2=4$. As diagonais são perpendiculares (uma vertical e outra horizontal).

4. Área do quadrilátero Para um quadrilátero com diagonais perpendiculares (como esse), a área é: [\text{Área}=\frac{d_1,d_2}{2}=\frac{8\cdot 4}{2}=16.]

Alternativa correta: (c).