No plano, com o sistema de coordenadas... - PasseJá

Questão

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, os gráficos das funções reais de variável real f(x) = x^2 - 6x + 9 e g(x) = -x^2 + 6x - 1 são parábolas. Os pontos de interseção dessas parábolas juntamente com seus vértices são vértices de um quadrilátero convexo, cuja medida da área é igual a:

Alternativas

A

18 u.a

B

22 u.a

C

Resposta certa

16 u.a

D

20 u.a

E

24 u.a

Explicação

Identificando vértices das parábolas

$f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2$ . Logo, o vértice de $f$ é $V_f=(3,0)$ .
$g(x)=-x^2+6x-1=-(x^2-6x)-1=-(x-3)^2+8$ . Logo, o vértice de $g$ é $V_g=(3,8)$ .

Pontos de interseção entre as parábolas Resolver $f(x)=g(x)$ : $(x-3)^2=-(x-3)^2+8$ $2(x-3)^2=8$ $(x-3)^2=4\Rightarrow x-3=\pm 2\Rightarrow x=1 \text{ ou } x=5.$ Agora os valores de $y$ (usando $f$ ):

Para $x=1$ : $y=f(1)=(1-3)^2=4$ .
Para $x=5$ : $y=f(5)=(5-3)^2=4$ . Assim, os pontos de interseção são $A=(1,4)$ e $B=(5,4)$ .

Quadrilátero convexo formado pelos 4 pontos Os quatro vértices são $V_f=(3,0)$ , $V_g=(3,8)$ , $A=(1,4)$ , $B=(5,4)$ . Eles formam um “losango” (na verdade um papagaio/diamante) com diagonais:

Diagonal vertical: entre $(3,0)$ e $(3,8)$ tem comprimento $d_1=8$ .
Diagonal horizontal: entre $(1,4)$ e $(5,4)$ tem comprimento $d_2=4$ . As diagonais são perpendiculares (uma vertical e outra horizontal).

Área do quadrilátero Para um quadrilátero com diagonais perpendiculares (como esse), a área é: $\text{Área}=\frac{d_1\,d_2}{2}=\frac{8\cdot 4}{2}=16.$

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