No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função y = x^2 e o triângulo equilátero. A área desse triângulo mede:

Pelo diagrama, o triângulo é equilátero, com vértice em $O=(0,0)$ e base horizontal overline{AB} acima do eixo $x$. Como é equilátero, a altura relativa à base passa pelo ponto médio da base e, no desenho, coincide com o eixo $y$.

Seja a base na reta horizontal $y=h$. Então os pontos de interseção com a parábola $y=x^2$ são: [ A=(\sqrt{h},h),\quad B=(-\sqrt{h},h). ] Logo, o comprimento da base é [ AB = \sqrt{h}-(-\sqrt{h})=2\sqrt{h}. ] A altura do triângulo (distância vertical de $O$ até a base $y=h$) é simplesmente [ \text{altura}=h. ] Num triângulo equilátero de lado $s$, a altura vale $\dfrac{\sqrt{3}}{2}s$. Aqui $s=AB=2\sqrt{h}$, então: [ h=\frac{\sqrt{3}}{2},(2\sqrt{h})=\sqrt{3}\sqrt{h}. ] Elevando ao quadrado: [ h^2 = 3h \Rightarrow h(h-3)=0. ] Como $h>0$, segue $h=3$.

Assim, o lado do triângulo é [ s=AB=2\sqrt{3}. ] A área de um equilátero é $A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$: [ A=\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12=3\sqrt{3}. ]

Alternativa correta: (A).