No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função y = x^2 e o triângulo equilátero. A área desse triângulo mede:

Pelo diagrama, o triângulo é equilátero, com vértice em $O=(0,0)$ e base horizontal overline{AB} acima do eixo $x$. Como é equilátero, a altura relativa à base passa pelo ponto médio da base e, no desenho, coincide com o eixo $y$.

Seja a base na reta horizontal $y=h$. Então os pontos de interseção com a parábola $y=x^2$ são:

$$A=(\sqrt{h},h),\quad B=(-\sqrt{h},h).$$

Logo, o comprimento da base é

$$AB = \sqrt{h}-(-\sqrt{h})=2\sqrt{h}.$$

A altura do triângulo (distância vertical de $O$ até a base $y=h$) é simplesmente

$$\text{altura}=h.$$

Num triângulo equilátero de lado $s$, a altura vale $\dfrac{\sqrt{3}}{2}s$. Aqui $s=AB=2\sqrt{h}$, então:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{h})=\sqrt{3}\sqrt{h}.$$

Elevando ao quadrado:

$$h^2 = 3h \Rightarrow h(h-3)=0.$$

Como $h>0$, segue $h=3$.

Assim, o lado do triângulo é

$$s=AB=2\sqrt{3}.$$

A área de um equilátero é $A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$:

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12=3\sqrt{3}.$$