Considere as retas r e s do plano cartesiano, definidas pelas seguintes equações: r: 5x + 11y = 29 e s: x = -3. Para k ∈ R_+, considere a circunferência C_k, definida pela equação x^2 + y^2 = k^2. Sabe-se que há apenas dois valores de k, representados por k1 e k2, para os quais a circunferência C_k intercepta o conjunto r ∪ s em apenas 3 pontos. Qual é o valor da soma k1 + k2?

Queremos que a circunferência $C_k: x^2+y^2=k^2$ intercepte o conjunto $r\cup s$ em exatamente 3 pontos.

Uma reta pode cortar uma circunferência em 0, 1 (tangência) ou 2 pontos. Como temos duas retas ($r$ e $s$), o total de pontos de interseção com $r\cup s$ normalmente seria 0, 1, 2, 3 ou 4, mas para dar 3 precisa acontecer um “desconto” de 1 ponto em relação ao caso 4.

Isso só ocorre em duas situações:

1. Uma das retas é tangente (1 ponto) e a outra é secante (2 pontos) (\Rightarrow 3) pontos distintos.
2. As duas retas são secantes (2 + 2 = 4), mas um ponto é comum (isto é, o ponto de interseção $r\cap s$ pertence à circunferência), então contamos 3 pontos distintos.

Vamos calcular os $k$ em cada caso.

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1) $s: x=-3$

A distância da origem à reta vertical $x=-3$ é $3$. Logo, $C_k$ é tangente a $s$ quando [ k = 3. ] Verificamos se, com $k=3$, a reta $r$ é secante (isto é, a distância da origem a $r$ é menor que 3).

A distância da origem à reta $r: 5x+11y-29=0$ é [ d_r = \frac{| -29 |}{\sqrt{5^2+11^2}} = \frac{29}{\sqrt{146}} \approx 2{,}40. ] Como $d_r < 3$, para $k=3$ a reta $r$ corta a circunferência em 2 pontos e $s$ em 1 ponto (tangência).

Logo, um dos valores é [ k_1 = 3. ]

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2) Ponto de interseção $r\cap s$ pertencendo a $C_k$

Se $s: x=-3$, substituindo em $r$: [ 5(-3) + 11y = 29 \Rightarrow -15 + 11y = 29 \Rightarrow 11y = 44 \Rightarrow y=4. ] Então [ r\cap s = (-3,4). ] Esse ponto pertence à circunferência quando [ k = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5. ] Para $k=5$, como $k>d_r$ e também $k>3$, ambas as retas são secantes (cada uma corta em 2 pontos), mas como $(-3,4)$ é um ponto comum de ambas e está na circunferência, o total de pontos distintos em $r\cup s$ é $4-1=3$.

Logo, o outro valor é [ k_2 = 5. ]

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Soma

[ k_1 + k_2 = 3 + 5 = 8. ]

Alternativa correta: (B).