Considere as seguintes afirmativas: I – O vetor u = (4; 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores v = (1; 0) e w = (0; 1). II – Qualquer vetor do R^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores v = (1; 0) e w = (0; 1). III – O vetor nulo não pode ser escrito como combinação linear dos vetores v = (1; 0) e w = (0; 1). Em relação às afirmativas acima, assinale a que está correta.

Vamos analisar cada afirmativa usando a ideia de combinação linear:

Dizer que um vetor $(a,b)$ é combinação linear de $\vec v=(1,0)$ e $\vec w=(0,1)$ significa que existem escalares $\alpha,\beta$ tais que $\alpha\,(1,0)+\beta\,(0,1)=(a,b).$ Mas $\alpha\,(1,0)+\beta\,(0,1)=(\alpha,\beta).$ Logo, basta tomar $\alpha=a$ e $\beta=b$.

I) $\vec u=(4,7)$.

Queremos $\alpha,\beta$ tais que $(\alpha,\beta)=(4,7)$. Basta escolher $\alpha=4$ e $\beta=7$: $4(1,0)+7(0,1)=(4,7).$ Portanto, I é verdadeira.

II) Qualquer vetor de $\mathbb{R}^2$ tem a forma $(a,b)$. Pelo raciocínio acima, $a(1,0)+b(0,1)=(a,b),$ então todo vetor de $\mathbb{R}^2$ é combinação linear de $\vec v$ e $\vec w$. Logo, II é verdadeira.

III) O vetor nulo em $\mathbb{R}^2$ é $(0,0)$. Ele pode sim ser escrito como combinação linear: $0(1,0)+0(0,1)=(0,0).$ Assim, a frase “não pode ser escrito” é falsa. Portanto, III é falsa.

Conclusão: somente I e II estão corretas.

Alternativa correta: (C).