Considere as seguintes afirmativas: I – O vetor \vec{u} = (4; 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v} = (1; 0) e \vec{w} = (0; 1). II – Qualquer vetor do \mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v} = (1; 0) e \vec{w} = (0; 1). III – O vetor nulo não pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v} = (1; 0) e \vec{w} = (0; 1). Em relação às afirmativas acima, assinale a que está correta.

Vamos analisar cada afirmativa usando o conceito de combinação linear.

Os vetores (\vec v=(1,0)) e (\vec w=(0,1)) formam a base canônica de (\mathbb{R}^2). Assim, uma combinação linear qualquer tem a forma [ a\vec v + b\vec w = a(1,0)+b(0,1)=(a,b). ]

I) (\vec u=(4,7)) pode ser escrito como combinação linear de (\vec v) e (\vec w)? Basta escolher (a=4) e (b=7): [ 4\vec v + 7\vec w = 4(1,0)+7(0,1)=(4,7)=\vec u. ] Logo, I é verdadeira.

II) Qualquer vetor de (\mathbb{R}^2) pode ser escrito como combinação linear de (\vec v) e (\vec w)? De fato, para qualquer ((x,y)\in\mathbb{R}^2), temos [ (x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x\vec v+y\vec w. ] Logo, II é verdadeira.

III) O vetor nulo ((0,0)) não pode ser escrito como combinação linear de (\vec v) e (\vec w). Isso é falso, pois [ 0\vec v + 0\vec w = (0,0). ] Logo, III é falsa.

Portanto, apenas as afirmativas I e II estão corretas.

Alternativa correta: (C).