Considere as seguintes afirmativas: I – O vetor \vec{u} = (4; 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v} = (1; 0) e \vec{w} = (0; 1). II – Qualquer vetor do \mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v} = (1; 0) e \vec{w} = (0; 1). III – O vetor nulo não pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v} = (1; 0) e \vec{w} = (0; 1). Em relação às afirmativas acima, assinale a que está correta.

Vamos analisar cada afirmativa usando o conceito de combinação linear.

Os vetores $\vec v=(1,0)$ e $\vec w=(0,1)$ formam a base canônica de $\mathbb{R}^2$. Assim, uma combinação linear qualquer tem a forma

$$a\vec v + b\vec w = a(1,0)+b(0,1)=(a,b).$$

I) $\vec u=(4,7)$ pode ser escrito como combinação linear de $\vec v$ e $\vec w$? Basta escolher $a=4$ e $b=7$:

$$4\vec v + 7\vec w = 4(1,0)+7(0,1)=(4,7)=\vec u.$$

Logo, I é verdadeira.

II) Qualquer vetor de $\mathbb{R}^2$ pode ser escrito como combinação linear de $\vec v$ e $\vec w$? De fato, para qualquer $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, temos

$$(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x\vec v+y\vec w.$$

Logo, II é verdadeira.

III) O vetor nulo $(0,0)$ não pode ser escrito como combinação linear de $\vec v$ e $\vec w$. Isso é falso, pois

$$0\vec v + 0\vec w = (0,0).$$

Logo, III é falsa.

Portanto, apenas as afirmativas I e II estão corretas.