Considere os seguintes vetores do \mathbb{R}^3 tais que v₁ = (1;2;1), v₂ = (1;0;2) e v₃ = (1;1;0), determine os valores dos escalares α, β e γ tais que o vetor v = (1;2;4) seja combinação linear de v₁, v₂ e v₃.

Queremos $\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = v$.

Com $v_1=(1,2,1)$, $v_2=(1,0,2)$, $v_3=(1,1,0)$ e $v=(1,2,4)$:

[ \alpha(1,2,1)+\beta(1,0,2)+\gamma(1,1,0)=(1,2,4). ]

Igualando coordenada a coordenada:

1. Primeira coordenada: [ \alpha+\beta+\gamma=1. ]

2. Segunda coordenada: [ 2\alpha+\gamma=2. ]

3. Terceira coordenada: [ \alpha+2\beta=4. ]

Da (3): $\alpha=4-2\beta$.

Substituindo na (2): [ 2(4-2\beta)+\gamma=2 \Rightarrow 8-4\beta+\gamma=2 \Rightarrow \gamma=-6+4\beta. ]

Agora na (1): [ (4-2\beta)+\beta+(-6+4\beta)=1 \Rightarrow -2+3\beta=1 \Rightarrow 3\beta=3 \Rightarrow \beta=1. ]

Então: [ \alpha=4-2(1)=2,\quad \gamma=-6+4(1)=-2. ]

Logo, $\alpha=2$, $\beta=1$, $\gamma=-2$.

Alternativa correta: (A).