Considere os seguintes vetores do \mathbb{R}^3 tais que v₁ = (1;2;1), v₂ = (1;0;2) e v₃ = (1;1;0), determine os valores dos escalares α, β e γ tais que o vetor v = (1;2;4) seja combinação linear de v₁, v₂ e v₃.

Queremos $\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = v$.

Com $v_1=(1,2,1)$, $v_2=(1,0,2)$, $v_3=(1,1,0)$ e $v=(1,2,4)$:

$$\alpha(1,2,1)+\beta(1,0,2)+\gamma(1,1,0)=(1,2,4).$$

Igualando coordenada a coordenada:

1. Primeira coordenada:

$$\alpha+\beta+\gamma=1.$$

2. Segunda coordenada:

$$2\alpha+\gamma=2.$$

3. Terceira coordenada:

$$\alpha+2\beta=4.$$

Da (3): $\alpha=4-2\beta$.

Substituindo na (2):

$$2(4-2\beta)+\gamma=2 \Rightarrow 8-4\beta+\gamma=2 \Rightarrow \gamma=-6+4\beta.$$

Agora na (1):

$$(4-2\beta)+\beta+(-6+4\beta)=1 \Rightarrow -2+3\beta=1 \Rightarrow 3\beta=3 \Rightarrow \beta=1.$$

Então:

$$\alpha=4-2(1)=2,\quad \gamma=-6+4(1)=-2.$$

Logo, $\alpha=2$, $\beta=1$, $\gamma=-2$.