Determine os valores de α e β de modo que o vetor v = (-1;5) seja combinação linear dos vetores u = (1;2) e w = (-1;3), ou seja: α u + β w = v

Queremos $\alpha\,\mathbf{u}+\beta\,\mathbf{w}=\mathbf{v}$, com $\mathbf{u}=(1,2)$, $\mathbf{w}=(-1,3)$ e $\mathbf{v}=(-1,5)$.

Escrevendo por coordenadas:

$$\alpha(1,2)+\beta(-1,3)=(\alpha-\beta,\;2\alpha+3\beta)=(-1,5).$$

Logo, obtemos o sistema:

$$\begin{cases} \alpha-\beta=-1\\ 2\alpha+3\beta=5 \end{cases}$$

Da primeira equação: $\alpha=\beta-1$.

Substituindo na segunda:

$$2(\beta-1)+3\beta=5 \Rightarrow 2\beta-2+3\beta=5 \Rightarrow 5\beta=7 \Rightarrow \beta=\frac{7}{5}.$$

Então:

$$\alpha=\beta-1=\frac{7}{5}-1=\frac{2}{5}.$$

Verificação: $(\alpha-\beta,2\alpha+3\beta)=\left(\frac{2}{5}-\frac{7}{5},\;2\cdot\frac{2}{5}+3\cdot\frac{7}{5}\right)=(-1,5)$, correto.