Determine os valores de α e β de modo que o vetor v = (-1;5) seja combinação linear dos vetores u = (1;2) e w = (-1;3), ou seja: α u + β w = v

Queremos $\alpha\,\mathbf{u}+\beta\,\mathbf{w}=\mathbf{v}$, com $\mathbf{u}=(1,2)$, $\mathbf{w}=(-1,3)$ e $\mathbf{v}=(-1,5)$.

Escrevendo por coordenadas: [ \alpha(1,2)+\beta(-1,3)=(\alpha-\beta,;2\alpha+3\beta)=(-1,5). ] Logo, obtemos o sistema: [ \begin{cases} \alpha-\beta=-1\ 2\alpha+3\beta=5 \end{cases} ]

Da primeira equação: $\alpha=\beta-1$.

Substituindo na segunda: [ 2(\beta-1)+3\beta=5 \Rightarrow 2\beta-2+3\beta=5 \Rightarrow 5\beta=7 \Rightarrow \beta=\frac{7}{5}. ] Então: [ \alpha=\beta-1=\frac{7}{5}-1=\frac{2}{5}. ]

Verificação: $(\alpha-\beta,2\alpha+3\beta)=\left(\frac{2}{5}-\frac{7}{5},\;2\cdot\frac{2}{5}+3\cdot\frac{7}{5}\right)=(-1,5)$, correto.

Alternativa correta: (b).