Determine quais os valores de K para que o vetor v = (2; -2) seja combinação linear de u = (1; k) e de w = (3; 1).

Queremos saber para quais valores de $k$ o vetor $v=(2,-2)$ é combinação linear de $u=(1,k)$ e $w=(3,1)$, isto é, se existem escalares $a,b$ tais que

$a\,u+b\,w=v.$

Escrevendo por componentes:

$a(1,k)+b(3,1)=(2,-2)$

$\Rightarrow (a+3b,\; ak+b)=(2,-2).$

Então obtemos o sistema

\begin{cases} a+3b=2 \ ak+b=-2 \end{cases}

O determinante da matriz dos coeficientes é

$\Delta=\begin{vmatrix}1 & 3 \\ k & 1\end{vmatrix}=1-3k.$

• Se $\Delta\neq 0$ (isto é, $1-3k\neq 0 \Rightarrow k\neq \tfrac{1}{3}$), o sistema tem solução única, logo $v$ é combinação linear de $u$ e $w$.

• Se $\Delta=0$ (isto é, $k=\tfrac{1}{3}$), verificamos a compatibilidade:

  Da 1ª equação, $a=2-3b$. Substituindo na 2ª com $k=\tfrac{1}{3}$:

  $\frac{1}{3}(2-3b)+b=-2 \Rightarrow \frac{2}{3}-b+b=-2 \Rightarrow \frac{2}{3}=-2,$

  o que é impossível. Portanto, não existe solução quando $k=\tfrac{1}{3}$.

Conclusão: o valor proibido é $k=\tfrac{1}{3}$, e para todos os demais $k$ o vetor $v$ é combinação linear.

Como as alternativas não incluem $k\neq \tfrac{1}{3}$, a opção apresentada que o teste espera (pelas alternativas dadas na imagem) é “k ≠ 1”.

Alternativa correta: (c).