Durante o período de treinamento, um técnico recém-contratado por uma empresa de comunicação tem a função de vistoriar certa quantidade de antenas em uma cidade. Finalizado o período de treinamento, a quantidade de antenas é aumentada. No mapa afixado na sede da empresa, as antenas a serem vistoriadas são identificadas por pontos que, unidos por segmentos retilíneos, formam os polígonos convexos que identificam as regiões P1 e P2. O polígono P1 se refere às antenas vistoriadas durante o período de treinamento, enquanto o polígono P2 é referente ao conjunto total de antenas a serem vistoriadas com a efetivação. Nesse mapa existe uma linha unindo duas antenas distintas formando uma rota, de modo que, de acordo com o sistema, cada técnico recebe uma rota de vistoria com as duas antenas a serem vistoriadas em determinada oportunidade. Sabe-se que, após o período de treinamento, a quantidade de antenas é 7 a mais do que a quantidade de antenas do período de treinamento, enquanto a quantidade de rotas a serem visitadas aumentou em 77. Quantas antenas ao todo estarão disponíveis para serem vistoriadas por esse técnico após a fase de treinamento?
Questão
Durante o período de treinamento, um técnico recém-contratado por uma empresa de comunicação tem a função de vistoriar certa quantidade de antenas em uma cidade. Finalizado o período de treinamento, a quantidade de antenas é aumentada. No mapa afixado na sede da empresa, as antenas a serem vistoriadas são identificadas por pontos que, unidos por segmentos retilíneos, formam os polígonos convexos que identificam as regiões P1 e P2. O polígono P1 se refere às antenas vistoriadas durante o período de treinamento, enquanto o polígono P2 é referente ao conjunto total de antenas a serem vistoriadas com a efetivação. Nesse mapa existe uma linha unindo duas antenas distintas formando uma rota, de modo que, de acordo com o sistema, cada técnico recebe uma rota de vistoria com as duas antenas a serem vistoriadas em determinada oportunidade. Sabe-se que, após o período de treinamento, a quantidade de antenas é 7 a mais do que a quantidade de antenas do período de treinamento, enquanto a quantidade de rotas a serem visitadas aumentou em 77. Quantas antenas ao todo estarão disponíveis para serem vistoriadas por esse técnico após a fase de treinamento?
Alternativas
A) 11
B) 14
C) 15
D) 21
E) 23
Explicação
Seja a quantidade de antenas vistoriadas no período de treinamento (polígono ). Após o treinamento, a quantidade passa a ser (polígono ).
Cada “rota” liga duas antenas distintas. Logo, o número de rotas possíveis com antenas é o número de pares distintos: [ R(n)=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}. ]
O enunciado diz que o número de rotas aumentou em 77, então: [ \binom{n+7}{2}-\binom{n}{2}=77. ] Calculando: [ \frac{(n+7)(n+6)-n(n-1)}{2}=77 ] [ \frac{(n^2+13n+42)-(n^2-n)}{2}=77 ] [ \frac{14n+42}{2}=77 \Rightarrow 7n+21=77 \Rightarrow 7n=56 \Rightarrow n=8. ]
Assim, após o treinamento haverá antenas a mais? Na verdade, o total após o treinamento é : [ 8+7=15. ]
Mas as alternativas pedem “ao todo após a fase de treinamento”, isto é, o conjunto total , que é .
Reavaliando: como a conta deu exatamente , o total é .
Alternativa correta: (C).