Com base na definição de vetores ou grupo de vetores LI ( linearmente independentes ) e LD ( vetores linearmente dependentes ), considere o seguinte conjunto de vetores do espaço R^3: { ( 1; 0 ), ( -1; 1 ), ( 3; 5 ) }. Podemos afirmar corretamente que:

Os vetores dados são $(1;0)$, $(-1;1)$ e $(3;5)$. Note que cada vetor tem 2 coordenadas, então eles pertencem a $\mathbb{R}^2$, e não a $\mathbb{R}^3$. Mesmo assim, analisando a (in)dependência linear do conjunto:

Considere a combinação linear

$$a(1,0)+b(-1,1)+c(3,5)=(0,0).$$

Isso gera o sistema:

$$\begin{cases} a-b+3c=0 \\ b+5c=0\end{cases}$$

Da segunda equação: $b=-5c$. Substituindo na primeira: $a-(-5c)+3c=0 \Rightarrow a+8c=0 \Rightarrow a=-8c$.

Logo, para qualquer valor de $c$, temos uma solução $(a,b,c)=(-8c,-5c,c)$. Em particular, tomando $c=1$, obtemos uma solução não trivial:

$$-8(1,0) -5(-1,1) + 1(3,5) = (0,0).$$

Portanto, o conjunto é linearmente dependente (LD).

Sendo LD, ele não pode ser base (nenhum conjunto LD pode ser base de um espaço vetorial, seja $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$).