Com base na definição de vetores ou grupo de vetores LI ( linearmente independentes ) e LD ( vetores linearmente dependentes ), considere o seguinte conjunto de vetores do espaço R^3: { ( 1; 0 ), ( -1; 1 ), ( 3; 5 ) }. Podemos afirmar corretamente que:
Questão
Com base na definição de vetores ou grupo de vetores LI ( linearmente independentes ) e LD ( vetores linearmente dependentes ), considere o seguinte conjunto de vetores do espaço R^3: { ( 1; 0 ), ( -1; 1 ), ( 3; 5 ) }. Podemos afirmar corretamente que:
Alternativas
o conjunto é LD e não pode portanto ser uma base de R^3.
o conjunto formado é LI e gera R^3.
o conjunto é LD, portanto é uma base de R^3.
o conjunto de vetores apresentado não pode ser LI ou LD.
o conjunto é LI e não é uma base de R^3.
Explicação
Os vetores dados são ((1;0)), ((-1;1)) e ((3;5)). Note que cada vetor tem 2 coordenadas, então eles pertencem a (\mathbb{R}^2), e não a (\mathbb{R}^3). Mesmo assim, analisando a (in)dependência linear do conjunto:
Considere a combinação linear [ a(1,0)+b(-1,1)+c(3,5)=(0,0). ] Isso gera o sistema: [ \begin{cases} a-b+3c=0 \ b+5c=0\end{cases} ] Da segunda equação: (b=-5c). Substituindo na primeira: (a-(-5c)+3c=0 \Rightarrow a+8c=0 \Rightarrow a=-8c).
Logo, para qualquer valor de (c), temos uma solução ((a,b,c)=(-8c,-5c,c)). Em particular, tomando (c=1), obtemos uma solução não trivial: [ -8(1,0) -5(-1,1) + 1(3,5) = (0,0). ] Portanto, o conjunto é linearmente dependente (LD).
Sendo LD, ele não pode ser base (nenhum conjunto LD pode ser base de um espaço vetorial, seja (\mathbb{R}^2) ou (\mathbb{R}^3)).
Alternativa correta: (a).